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Topologische Automorphismen in der konstruktiven Galoistheorie. (Topological automorphisms in constructive Galois theory). (German) Zbl 0596.12009
Sei \(\bar k\subseteq {\mathbb{C}}\) ein algebraisch abgeschlossener Körper und \(\bar K/\bar k\) ein algebraischer Funktionenkörper vom Geschlecht g. Es sei \({\bar {\mathbb{S}}}=\{\bar {\mathfrak p}_ 1,...,\bar {\mathfrak p}_ s\}\) eine Teilmenge der Menge der Bewertungsideale von \(\bar K/\bar k\), \(\bar M\) der maximale außerhalb \({\mathbb{S}}\) unverzweigte algebraische Erweiterungskörper von \(\bar K\) und \(\Pi:=Gal(\bar M/\bar K)\). Die Operation der Gruppe ”algebraischer” Automorphismen Gal\((\bar K/K)\) auf \(\Pi\), wo \(K\bar k=\bar K\), wurde vom Verf. [J. Algebra 96, 499-531 (1985; Zbl 0587.12004)] studiert.
Sei jetzt V eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe \(S_ s\). In der vorliegenden Arbeit wird für die Untergruppe \(H\subseteq Aut(\bar K/\bar k)\) der \(V{\mathbb{S}}\)-zulässige topologische Automorphismen von \(\bar K\) (siehe Definition 2.3) die Operation auf \(\Pi\) untersucht. Dann operiert auch die Gruppe H auf den Mengen von Erzeugendensystemklassen \(S^ i_ g({\mathfrak C})\) von Klassenstrukturen \({\mathfrak C}\) einer endlichen Gruppe G; im Fall \(g=0\) und für \(s=3,4\) sind explizite Formeln ausgerechnet (Sätze 4.4, 4.5).
Da nicht alle Bahnen auf \(S^ i_ g({\mathfrak C})\) unter dieser Operation die gleiche Länge haben, studiert man in § 5 die Fixgruppen von \([s]\in S^ i_ g({\mathfrak C})\). Wenn G eine endliche Gruppe ist, deren Zentrum ein Komplement in G besitzt, \(V=Aut^ a({\mathfrak C}^*)\), liefert eine Trennung der Erzeugendensystemklassen mit verschiedenen Fixgruppen unter der Operation der \(V{\mathbb{S}}\)-zulässigen topologischen Automorphismen von K eine bessere Abschätzung für die minimalen eigentlichen Definitionskörper einer Galoiserweiterung \(\bar N/\bar K\) mit der Gruppe G und Verzweigungsstruktur \({\mathfrak C}^*\) (Satz 7.4 mit Folgerung 7.6).
Damit wird Satz 5.4 des Verf. [J. Reine Angew. Math. 349, 179-220 (1984; Zbl 0555.12005)] verfeinert, und man kann z. B. beweisen, daß die Gruppen \(PSL_ 2({\mathbb{F}}_ p)\) im Fall \((p| 2)=-1\) mit den Verzweigungsstrukturen \({\mathfrak C}^*_ 2=(2A,pA,pB)^*\) und \(\tilde{\mathfrak C}^*_ 2=(2A,2A,pA,pB)^*\) und im Fall \((p| 3)=-1\) mit den Verzweigungsstrukturen \({\mathfrak C}^*_ 3=(3A,pA,pB)\) und \(\tilde{\mathfrak C}^*_ 3=(3A,3A,pA,pB)^*\) als Galoisgruppen über \({\mathbb{Q}}(t)\) realisierbar sind.
Reviewer: P.Bayer

MSC:
11R32 Galois theory
11R58 Arithmetic theory of algebraic function fields
20F29 Representations of groups as automorphism groups of algebraic systems
30F10 Compact Riemann surfaces and uniformization
20B27 Infinite automorphism groups
20D06 Simple groups: alternating groups and groups of Lie type
14H30 Coverings of curves, fundamental group
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Full Text: DOI Crelle EuDML