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Sur les blocs des équations différentielles linéaires du deuxième ordre et leurs transformations. (French) Zbl 0596.34022

Es sei M die Menge der linearen oszillatorischen Differentialgleichungen \(P: y''=P(t)y\) \((P\in C^ 0_ R\), \(R=(-\infty,\infty))\). Ferner sei G die Phasengruppe und \(\alpha\) der folgende Homomorphismus von G in die Gruppe S(M) der bijektiven Abbildungen der Menge M auf sich: Das Bild von \(P\in M\) in der dem Element \(\omega\in G\) zugeordneten Bijektion \(\alpha (\omega)=\phi_{\omega}\in S(M)\) ist die Differentialgleichung \((\phi_{\omega}(P)=)\) \(Q\in M\) mit dem Träger \(Q(t)=- \{\omega,t\}+P[\omega (t)]\cdot \omega '{}^ 2(t)\) (t\(\in R)\). Man spricht von der \(\omega\)-Transformation von P in Q. In dieser Situation stellt (M,G;\(\alpha)\) einen (algebraischen) homogenen Raum mit dem Operatorenbereich G dar.
Es sei \(P\in M\). Ausgehend von P werden gewisse Untermengen von M, die Blöcke mit der Basis P, konstruktiv definiert und ihre Eigenschaften untersucht. Insbesondere ist die Menge dieser Blöcke eine Zerlegung von M und der die Differentialgleichung \(X\in M\) enthaltende Block stellt die von der Dispersionsgruppe von P erzeugte Trajektorie von X dar. Die betrachteten Zerlegungen von M sind im bezug auf \(\omega\)- Transformationen ihrer Basen mit den letzteren kovariant.

MSC:

34C20 Transformation and reduction of ordinary differential equations and systems, normal forms
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Full Text: EuDML