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On the solutions of the equation \(f(xf(y)^ k+yf(x)^ l)=f(x)f(y)\). (English) Zbl 0599.39006

L’équation fonctionnelle \[ (1)\quad f(xf(y)^ k+yf(x)^ l)=f(x)f(y), \] pour \(k,l\in {\mathbb{N}}_+\), a été l’objet des recherches en connection avec la théorie des groupes [S. Midura, Dissertationes Math., Warszawa 105 (1973; Zbl 0271.53010), N. Brillouët, Publ. Math. Univ. Nantes (sous presse)]. Continuant les travaux du deuxième auteur [Demonstr. Math. 16, 1019-1025 (1983; Zbl 0543.39001)], les auteurs démontrent que si \(X\in R\) et si \(g: X\to R\) est une solution de (1), qui a la propriété de Darboux, on a soit \(g\equiv 1\), soit \(g\equiv 0\). Puis on généralise les résultats pour des fonctions définies sur des éspaces linéaires.
Reviewer: N.Ghircoiaşiu

MSC:

39B52 Functional equations for functions with more general domains and/or ranges
39B99 Functional equations and inequalities
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