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On planar algebraic isotherms. (Ueber ebene algebraische Isothermen.) (German) JFM 06.0249.04
Ursprünglich werden nach Lamé \(isothermische\) Curven alle diejenigen genannt, deren Gleichung in Bezug auf ein reelles Coordinatensystem \((x,y)\) lautet: \[ u(x,y)=c, \] wo \(c\) ein variabler Parameter ist und \(u\) eine reelle Function, welche der Differentialgleichung \[ \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0 \] genügt. Denkt man sich die Function \(u\) durch Hinzunahme einer rein imaginären Function \(vi\) in eine analytische Function \[ w=u+vi\quad\text{von}\quad z=x+yi \] verwandelt, so ist \(w=f(z)\) eine analytische Function, welche die conforme Abbildung einer isothermischen Curvenschaar in der \(z\)-Ebene auf eine Schaar von parallelen Geraden \(u\) in der \(w\)-Ebene bewirkt. Die Aufgabe, welche sich Herr Schwarz in vorliegender Arbeit stellt, “alle ebenen isothermischen Curvenschaaren zu bestimmen, welche von \(algebraischen\) Curven gebildet werden”, ist also identisch mit der folgenden: “alle analytischen Functionen \[ z=x+yi=\varphi (u+vi)=\varphi (w) \] des complexen Argumentes \(w=u+vi\) zu bestimmen, welche die Eigenschaft haben, dass bei der durch dieselben vermittelten conformen Abbildung von Theilen der Ebene \(w\) auf Theile der Ebene \(z\), der Schaar paralleler Geraten \(u=c\) eine Schaar von algebraischen Curven entspricht.” Der Herr Verfasser beweist, dass wenn für jeden constanten Werth von \(u\) zwischen dem reellen und dem imaginären Bestandtheile der Function \(\varphi (u+vi)\) eine algebraische Gleichung besteht, diese Function ein algebraisches Additionstheorem besitzt. Eine solche Function ist aber dann, nach einem von Herrn Weierstrass in seinen Vorlesungen gegeben Satze, entweder eine \(algebraische\) Function von \(w\), oder eine algebraische Function von \(e^{\mu w}\) (wo \(\mu\) eine passend gewählte Constante bezeichnet), oder eine algebraische Function einer \(elliptischen\) Function im engeren Sinne, z. B. von \(sn(\mu w;\;k)\). Durch diesen Satz wird es ermöglicht, die “Fundamentalsysteme” der isothermischen algebraischen Curvenschaaren zu gewinnen. Der Herr Verfasser gelangt zu dem Resultat: “Die complexe Grösse \(w=f(z)\), deren reeller Theil \(u\) längs jeder einzelnen Curve einer von algebraischen Curven gebildeten, in der Ebene der complexen Grösse \(z\) liegenden isothermischen Curvenschaar einen constanten Werth hat, ist entweder eine \(algebraische\) Function von \(z\), oder es ist die Grösse \(\mu w\) (wo \(\mu\) eine passend gewählte reelle Zahl bedeutet) resp. \(\mu wi\) der \(Logarithmns\;einer\;algebraischen\;Function\) von \(z\), oder es ist die Grösse \(\mu \) ein \(elliptisches\;Integral\;erster\;Art\), in der Jacobi’schen Normalform, mit reellem Modul, dessen obere Grenze eine \(algebraische\;Function\) von \(z\) ist.”

MSC:
30C20 Conformal mappings of special domains
14H05 Algebraic functions and function fields in algebraic geometry
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Full Text: Crelle EuDML