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Precis of six memoires in Borchardt’s mathematical journal (edited by the author). (Extrait de six mémoires dans le journal de mathématiques de Borchardt. (Analyse rédigée par l’Auteur).) (French) JFM 06.0255.01
Darboux Bull. IV, 97-110 (1873); IV, 142-157, 212-224, 297-307, 308-320, 314-320 (1873).
I. II. Recherches sur les fonctions entières et homogènes de \(n\) différentielles (Borchardt J. LXX. p. 71-102; LXXII. p. 1-56).
III. Recherches sur un problème de calcul des variations, qui renferme le problème de la Mécanique. (Borchardt J. LXXIV. p. 116-141).
IV. V. Développement de quelques propriétés des formes quadratiques de \(n\) différentielles. (Borchardt J. LXXI. p. 274-287, 288-295).
VI. Développement d’une dépendance entre les formes quadratiques de \(n\) difféntielles et les transcendantes abéliennes. (Borchardt J. LXXIV. p. 150-171).
Wiewohl über die einzelnen Abhandlungen bereits in den betreffenden Jahrgängen der Fortschritte (II. 129, JFM 02.0129.02 u. 130, JFM 02.0130.01, IV. 180, JFM 04.0180.01 u. 227, JFM 04.0227.02) berichtet ist, so soll bei der hervorragenden Wiechtigkeit dieser Untersuchungen der Gang der Abhandlungen I. und II., welche die für die Theorie der untersuchten Formen wesentlichen Ergebnisse enthalten, und in der Analyse des Autors vorzugsweise eine veränderte, die Uebersicht erleichternde Darstellung gefunden haben, im Folgenden wiedergegeben werden.
I. Es stelle \(f(x)\) eine ganze homogene Function \(p^{\text{ten}}\) Grades der \(n\) Differentiale \(dx_1 ,\cdot x_n \) dar, deren Coefficienten von den Variabeln \(x_1 ,\cdot x_n\) abhängen, und von der vorausgesetzt wird, dass die Determinante \[ \varDelta =\sum\pm\frac {\partial^2 f(dx)}{\partial dx_1 \partial dx_1} \cdots\frac {\partial^2 f(dx)}{\partial dx_n \partial dx_n } \] nicht identisch verschwindet; substituirt man für die \(x\) beliebige von einander unabhängige Functionen von \(n\) neuen Variabeln \(y_1 ,\cdots y_n\), so dass \[ (1)\quad dx_a =c_{a1}dy_1 +\cdot\cdot +c_{an}dy_n \] (\(\sum\pm c_{11}\cdots c_{nn}\) von Null verschiedenen), und es geht \(f(dx)\) in \(g(dy)\) über, so werden \(f(dx)\) und \(g(dy)\) als derselben Klasse angehörig bezeichnet. Für \(n=2, p=2\) kannman \(2f(dx)\) als den Ausdruck für Quadrat eines Linienelements auf einer Oberfläche mit den Parametern \(x_1, x_2\) betrachten, und die Möglichkeit der Transformation: \(f(dx)=g(dy)\) bedeutet alsdann die Abwickelbarkeit dieser Oberfläche auf einer andern mit den Parametern \(y_1, y_2\). Zu den Eigenschaften, welche bei einer Abwickelung erhalten bleiben, gehören u. A. nach Gauss die der kürzesten Linien auf der Fläche. Somit erscheint die Möglichkeit der fraglichen Transformation mit einem Variationsproblem verknüpft, welches in der Ausdehnung auf den betrachteten allgemeinen Fall darin besteht, \(n-1\) der Variabeln \(x_a\) als Functionen einer derselben \(x_{c1}\) so zu bestimmen, dass \[ \delta R=\delta\int_{x_{c_1}^{(0)}}^{x_{c_1}}\root p\of{pf(dx)}=0. \] Dieses Problem kann leicht auf das folgende \[ \delta\int_{t_0}^{t_1}f(x')dt=0 \] zurückgeführt werden, wo \(x_a^{'}= \frac {dx_a}{dt}\) und \(t\) eine unabhängige Variable (für \(n=2,\;p=2\) die Zeit,in welcher ein auf einer Oberfläche verbleibender materialler Punkt ohne Einwirkung äusserer Kräfte die kürzeste Linie beschreibt) bedeutet. Die letzte Gleichung führt zu dem Systeme von \(n\) Differentialgleichungen \[ (2)\quad \frac {d \frac{\partial f(x')}{\partial x_a^{'}}}{dt}-\frac{\partial f(x')}{\partial x_a^{'}}=0,\quad (a=1,\;2,\;\cdot\cdot n) \] von welchem ein Integral bekannt ist: \(f(x')=f_0 (x^{'(0)})\), wo \(f_0\) das Resultat der Substitutionen \(x_a=x_a^{(0)}\) in den Coefficienten von \(f\) bedeutet. Aus den Gleichungen \((2)\) kann man, da \(f(x')\) kein \(t\) enthält, \(dt\) eliminiren und erhält durch Integration die \(x_{a}\) durch \(x_{c_{1}}\) und darauf durch blosse Quadratur \[ (3)\quad R=\int_{x_{c_1}^{(0)}}^{x_{c_1}} \root p\of{pf( \frac{dx}{dx_{c_1}})dx_{c_1}} =\sqrt{pf_0 (x^{'(0)})}\cdot (t-t_0), \] wodurch \(x_{c_1}\) und somit sämmtliche \(x_a\) als Functionen von \(t\) ausgedrückt sind. Diese Systeme der \(x\) bestimmen eine Mannigfaltigkeit erster Ordnung (für \(n=2,\;p=2\) die kürzesten Linien der Fläche). Besteht nun die Transformation \(f(dx)=g(dy)\), so muss die Integration des der Form \(g(dy)\) entsprechenden Systems von Differentialgleichungen die nämliche Mannigfaltigkeit ergeben, und zwar besteht für die Anfangswerthe nach (1) die Beziehung \[ (4)\quad x_a^{'(0)}=c_{a,1}^0 y_1^{'(0)}+\cdots +c_{a,n}^0 y_n^{'(0)}. \] Die Gleichung (3) zeigt, dass \(t\) überall nur in den \(n\) Verbindungen \((t-t_0)x_b^{'(0)}=u_b\) angesehen werden können. Führt man die neuen Variablen \(u_b\) ein, so dass \(f(dx)=\varphi (du)\) wird, und ebenso statt \(y_l\) die neuen Variabeln \((t-t_0) y_l^{'(0)}=z_l\), so dass man entsprechend \(g(dy)=\chi (dz)\) erhält, so ergiebt sich: \[ (5)\quad \varphi (du)=\chi (dz). \] \(u\) und \(z\) sind nach \((4)\) durch die Beziehung verknüpft: \[ (6)\quad u_a =c_{a,1}^0 z_1 +\dotsm +c_{a,n}^0 z_n , \] mithin sind die \(u\;lineare\) Functionen der \(z\) mit \(constanten\) Coefficienten. Die Variablen \(u\) nennt der Verfasser die \(Normalvariablen\) und die Form \(\varphi (du)\) den \(Normaltypus\) der Form \(f(dx)\). Besondere Beachtung wird dem Falle geschenkt, wo die Function \(f(dx)\) sich in eine Form \(g(dy)\) mit constanten Coefficienten verwandeln lässt (was für \(n=2,\;p=2\) die Abwickelbarkeit der Fläche auf einer Ebene bedeutet). Alsdann lauten die Integrale des der Form \(g(dy)\) entsprechenden Systems \[ y_k =y_k^{(0)}+(t-t_0) y_k^{'(0)}=y_k^{(0)}+z_k, \] also durch Einführung der Normalvariablen \(z_k\) wird. \[ g(dy)=g(dz)=g_0 (dz)=\chi (dz) \] mit constanten Coefficienten in \(\chi\), folglich muss nach \((5)\) und \((6)\) auch \(\varphi (du)\) constante Coefficienten enthalten. Demnach ist die nothwendige und hinreichende Bedingung für die Transformirbarkeit einer Form \(f(dx)\) in eine Form mit constanten Coefficienten, dass der Normaltypus von \(f(dx)\) eine Form mit constanten Coefficienten ist. Die letzteren Coefficienten erhält man übrigens unmittelbar aus den Coefficienten von \(f(dx)\), indem man in denselben \(x_a=x_a^0\) setzt, so dass im betrachteten Falle \(\varphi (du)=f_0 (du)\) ist. Während vorstehendes Kriterium die vollständige Integration des Systems \((2)\) voraussetzt, giebt der Verfasser für quadratische Formen \((p=2)\), ausgehend von den Gaussischen Untersuchungen über das Krümmungsmaass der Flächen, noch ein zweites \(directes\) Kriterium durch das dentische Verschwinden einer hier nicht näher wiederzugebenden Form \(\psi (d^1 x,\delta^1 x,dx,\delta x)\), die eine Covariante von \(f(dx)\) ist und mit der von Herrn Christoffel (Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke Borchardt J. LXX p. 58) mit \(G_{4}\) bezeichneten Form übereinstimmt. Sie ist eine bilineare Form der beiden Systeme von \( \frac {n(n-1)}2\) Combinationen \[ d^1 x_a \delta^1 x_b -\delta^1 x_a d^1 x_b \quad dx_g \delta x_h -\delta x_g dx_h, \] unter \(d^1,\;\delta^1 ,\;d,\;\delta\) verschiedene Differentiationszeichen verstanden, und ihre Coefficienten von \(f(dx)\) in Bezug auf die Variablen \(x_1 \dotsm x_n\) gebildet. Für \(n=2\) besteht zwischen \(\psi\) und dem Krümmungsmaass \(k\) der Fläche die Beziehung \[ \frac 1 2\psi = -k(d^1 x_1 \delta^1 x_2 -\delta^1 x_1 d^1 x_2) (dx_1 \delta x_2 -\delta x_1 dx_2). \] \(\psi =0\) wird also in diesem Falle mit \(k=0\) identisch, was bekanntlich in der That die Abwickelbarkeit der Fläche auf einer Ebene zur Folge hat. (Borchardt J. LXX. p. 71-102).
II. Die Beziehung zwischen dem Normaltypus \(\varphi (du)\) und \(\psi\) giebt die Gleichung \[ [\psi (du)-f_0 (du)]_2= \frac 1{12} \psi_0 (u,\;\delta u,\;u,\;du), \] wo er Ausdruck links die Summe der Glieder \(2^{\text{ter}}\) Dimension in der Entwickelung von \(\varphi (du)-f_0 (du)\) nach Potenzen von \(u\) bezeichnet. Für \(u=2\) wird das Krümmungsmaass \(k_0\) im Punkte \(x_0^{(0)},\;x_1^{(0)}\) ausgedrückt durch: \[ k_0 = \frac{-\frac 1 2 \psi_0 (u,\;\delta u,\;u,\;\delta u)} {4f_0 (u)\{f_0 (\delta u)-(\delta\sqrt{f_0 (u)})^2\}}= -\frac 3 4 \frac{[2\varphi (\delta u)-2f_0 (\delta u)]_2}{f_0(u)\{f_0(\delta u)-(\delta\sqrt{f_0(u)})^2\}}. \] Definirt man nun \(k_0\) durch dieselbe Gleichung auch für \(n>2\), so stellt \(k_0\) nach der Bezeichnung Riemann’s (Ueber Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, II \(\S\;2\)) das Krümmungsmaass einer \(n\)-fach ausgedehnet Mannigfaltigkeit, deren Linearelement durch \(\sqrt{2f(dx)}\) ausgedrückt ist, im Punkt \(x_1^{(0)}\dotsm x_n^{(0)}\) dar. Setzt man \(n-2\) beliebige der Grössen \(u_r\) gleich Null, so geht \(\varphi (du)\) in eine quadratische Form \(2\) Differentialen \(du_{r_1},\;du_{r_2}\) über und \(k_0\) verwandelt sich in den Ausdruck für das Gaussische Krümmungsmaass der Fläche \((u_{r_1}u_{r_2})\) für den Punkt \(u_{r_1}=0,\;u_{r_2}=0\). Der Verfasser führt ferner eine zweite qudrilineare Form ein: \[ {\mathfrak F}(d^1 x,\;\delta^1 x,\;dx,\;\delta x)=\sum_{a,b} \frac {\partial f(dx)}{\partial dx_a }\cdot \frac {\partial f(dx)}{\partial d x_b}(d^1 x_a \delta^1 x_b -\delta^1 x_a d^1 x_b ), \] und für das Krümmungsmaass \(k\) im Punkt \(x_{1}\dotsm x_{n}\) wird der Ausdruck gegeben \[ k= \frac {-\frac 1 2 \psi (dx,\;\delta x,\;dx,\;\delta x)}{{\mathfrak F} (dx,\;\delta x,\;dx,\;\delta x)}. \] Unter den quadratischen Formen für \(n>2\) wird nun “ein Geschlecht von Formen” hervorgehoben, in welchen, was für \(n=2\) stets der Fall ist, der Quotient \[ \frac {\varphi (du)-(d\sqrt{f_0 (u)})^2}{f_0 (du)-(d\sqrt{f_0 (u)})^2} \] von der Wahl der Differetiale \(du\) unabhängig ist. Zu diesem Geschlecht gehören, wie der Verfasser nachweist, stets die Formen, für welche das Krümmungsmaass \(k\) überall constant = \(\alpha\) ist. (Riemann’sche Form). Die letztere Eigenschaft ist zugleich das Kriterium für die Transformirbarkeit der Form \(f(dx)\), wofern sie reell ist, in eine Form \(g(dx)\), welche aus einer quadratischen Form \(G(dy)\) mit constanten Coefficienten und \(n+1\) Differentialen \(dy_{\alpha }\) hervorgeht, wenn man \(y_{n+1}\) vermittelst der Gleichung \(2G(y)=\frac 1{\alpha}\) eliminirt. Die Integration des entsprechenden isoperimetrischen Systems lässt sich hier (wie oben im Falle \(k=0\)) bewerkstelligen, und man erhält für das Linearelement durch Einführung der Normalvariablen und einiger Substitutionen die Darstellung: \[ \sqrt{\varphi (du)}= \frac {\sqrt{f_0 (d\xi)}}{1+\frac {\alpha}2 f_0(\xi)}, \] welche, wenn \(f(dx)\) wesentlich positiv ist, durch reelle lineare Substitutionen in den von Riemann (l. c. \(\S\; 4\)) für das Linearelement gegebenen Ausdruck \(\frac 1{1+\frac {\alpha}4 \sum x^2}\cdot\sqrt{\sum dx^2}\) übergeführt werden kann. Mit jeder quadratischen Form \(f(dx)\) hängt eine von Hernn Beltrami (sulla theorica generali dei parametri differenziali, Mem. di Bologna 1863) angegebene partielle Differentialgleichung zusammen, welche eine Verallgemeinerung der Laplace’schen Gleichung bildet. Ist nämlich \[ 2f(dx)=\sum_{\mathfrak{a,b}}a_{\mathfrak{a,b}}d x_{\mathfrak a} d x_{\mathfrak b} ,\quad\sum\pm a_{11}...a_{nn}=\varDelta, \quad\frac {\partial\varDelta}{\partial a_{\mathfrak{a,b}}} =A_{\mathfrak{a,b}}, \] so lautet die Gleichung \[ (7)\quad\varDelta_2 (w)=\varDelta^{-\frac 1 2}\sum_{\mathfrak{ab}}\frac {\partial (\varDelta^{-\frac 1 2}A_{\mathfrak{a,b}}\frac {\partial w}{\partial x_{\mathfrak b}})}{\partial x_{\mathfrak a}} =0. \] Wenn \[ 2f(dx)=\sum_{\mathfrak a} d x_{\mathfrak a}^2 , \] dann ist ein Itegral der Gleichung eine reine Function der Grösse \[ \sqrt{\sum_{\mathfrak a} (x_{\mathfrak a} -x_{\mathfrak a}^0)^2}, \] also, da hier die Normalvariablen \(u_{\mathfrak a} =x_{\mathfrak a} - x_{\mathfrak a}^0 \) sind, der Grösse \(\sqrt{2f_0 (u)}\). Der Verfasser stellt sich nun allgemein die Frage nach den Bedingungen für \(f(dx)\), damit ein Integral der Gleichung \((7)\) eine reine Function von \(\sqrt{2f_0 (u)}=r\) sei. Bezeichnet \(II\) die Determinante der Coefficienten des Normaltypus \(\varphi (du)\), so ergiebt sich als nothwendige und hinreichende Bedingung hierfür, dass der Ausdruck \[ \varPi^{-\frac 1 2}\sum\frac {\partial\varPi^{\frac 1 2} u_{\mathfrak a}}{\partial u_{\mathfrak a}} \] eine reine Function von \(r\) sei. Das Integral \(w\), eine Verallgemeinerung des Potentials, erhält man alsdann vermittelst der Formel: \[ d\log\frac {dw}{dr}=-\sum_{\mathfrak a} \frac{\partial\log (\varPi^{\frac 1 2}r^{n-1} )}{\partial u_{\mathfrak a}}u_{\mathfrak a}d\log r. \] Edlich bemerken wir noch, dass die Einführung der Normalvariablen zu einer dem Zwecke der Variationsrechnung entsprechenden Umformung der \(2^{ten}\) Variation des Integrals \(\int_{t_{0}}^{t_{1}}f(x')dt\) (\(f(x')\) hier wieder vom \(p^{\text{ten}}\) Grade in Bezug auf \(x_1^{'}...x_n^{'}\)) in ein Aggregat einer quadratischen Form von \(n\) unabhängigen Elementen und eines vollständigen nach t genommenen Differentialquotienten benutzt wird, ohne, was wichtig ist, eine weitere Integration ausser der des isoperimetrischen Systems vorauszusetzen. Die Transformation lautet: \[ \delta^2 \varphi (u')=\sum_{\mathfrak a,b} \frac {\partial^2 \varphi (u')}{\partial u_{\mathfrak a}^{'} u_{\mathfrak b}^{'}}(\partial u_{\mathfrak a}^{'}-(t-t_0)^{-1}\partial u_{\mathfrak a})(\partial u_{\mathfrak b}^{'}-(t-t_0)^{-1}\partial u_{\mathfrak b})+ \frac {dB}{dt}. \]

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