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Double tangent of a \(n^{\text{th}}\) order curve. (Doppeltangenten einer Curve \(n^{\text{ter}}\) Ordnung.) (German) JFM 06.0414.04
Der erste Mathematiker, dem es gelang, die Anzahl der Doppeltangenten einer Curve \(n^{\text{ter}}\) Ordnung zu bestimmen, war Plücker (Crelle J. XII. 105 und Theorie der algebr. Curven). Nach ihm beschäftigten sich besonders Cayley (Crelle J. XXXIV.) und Hesse (Crelle J. XXXVI.) mit der Frage, indem sie dieselbe rein analytisch zu lösen suchten. Doch gelang es ihnen nicht, die Hauptschwierigkeit zu überwinden, nämlich den Nachweis zu liefern, dass aus der Endgleichung ein überflüssiger Factor sich müsse absondern lassen. Dies brachte zuerst Jacobi (Crelle J. XL.) zu Stande durch eine Methode, die nachher von Clebsch (Borehardt J. LXIII.) verbessert und mit Hilfe der symbolischen Rechnung einfacher dargestellt wurde. Bei Curven \(4^{\text{ter}}\) Ordnung stellte Hesse die Gleichung einer Curve auf, welche die gegebene in den Berührungspunkten der Doppeltangenten schneidet (Crelle J. XXXVI., XL., XLI., LII.). Nachdem der Verfasser der vorliegenden Arbeit zuerst den angeführten Clebschschen Beweis reproducirt hat, zeigt er durch eine symbolische Rechnung, die nicht wohl einen Auszug zulässt, dass die von Hesse gefundene Gleichung sich symbolisch schreiben lässt: \[ (r+f)^2=0, \] wo \[ f_y=a_x^3a_y, \quad r_y^2=s_y^2= a_yc_x^2b_y (acb)^2 (a_xb_y+a_yb_x), \] während \(a_x^4=0\) die gegebene Function \(f\) darstellt.
Den allgemeinen Fall erledigten zuerst Salmon (Phil. mag. 1858) und Cayley (Phil. trans. 1859), indem sie lehrten, wie eine Curve \((n-2)^{\text{ter}}\) Ordnung aufzustellen sei, welche von der Tangente in einem Punkte \(x\) der gegebenen Curve \(n^{\text{ter}}\) Ordnung in den Punkten \(y\) getroffen wird, in welchen diese Tangente die gegebene Curve ausser in \(x\) noch schneidet. Der Verfasser der vorliegenden Arbeit verfolgt denselben Gang. Wenn der Schnitt einer Linie \(u_x=0\), mit der Tangente \(a_x^{n-1}a_y= f_y=0\) in einem Punkte \(x\) ein Punkt der Curve \(a_x^n=0\) sein soll, so muss \(a\cdot u\cdot f)^n=0\) sein, so dass diese Gleichung das Produkt der \(n\) Schnittpunkte der Tangente mit der Curve ist.
Durch eine Reihe von einfachen symbolischen Rechnungen zeigt sich dann, dass \[ 6(a\cdot u\cdot f)^n=-u_x^2 (a\cdot l\cdot c)^2 \sum_{\kappa+\lambda+ \mu=n-2} a_x^{\lambda-\mu} b_x^{\mu+\kappa} c_x^{\kappa+\lambda} a_y^\kappa b_y^2 c_y^\mu, \] wo rechts die \(y\) den einzelnen Unterdeterminanten \((uf)\) gleich sind. Versteht man aber unter \(y\) beliebige Variable, so ist \[ r_y^{n-2}= (abc)^2 \sum_{\kappa+\lambda+\mu= n- 2}a_x^{\lambda+\mu} b_x^{\mu+\kappa} c_x^{\kappa+\lambda} a_y^\kappa b_y^\lambda c_y^\mu=0 \] die gesuchte Curve \((n-2)^{\text{ter}}\) Ordnung.
Wenn nun die Tangente \(f_y=0\) Doppeltangente sein soll, so muss sie diese Curve \(r_y^{n-2}=0\) berühren. Man hat folglich die Gleichung dieser Curve in Liniencoordinaten herzustellen und für die Liniencoordinaten dann die \(f_1f_2f_3\) einzutragen, um die Gleichung der Curve zu finden, welche die gegebene in den Berührungspunkten der Doppeltangenten schneidet.

MSC:
51N35 Questions of classical algebraic geometry
14H50 Plane and space curves
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