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Miscelany from the field of minimal surfaces. (Miscellen aus dem Gebiete der Minimalflächen.) (German) JFM 06.0517.01

Wolf Z. XIX. 243-271 (1874).
Die vorliegenden Miscellen enthalten mehrere interessante Bemerkungen zur Theorie der Minimalfläche, d. h. derjenigen Flächen, welche die Eigenschaft haben, dass sich Stücke derselben abgrenzen lassen, welche unter allen je von denselben Randlinien begrenzten Flächenstücken den kleinsten Flächeninhalt besitzen. In der Einleitung verweist der Herr Verfasser diejenigen, welche sich für die Literatur über die Minimalflächen interessiren, auf die Abhandlungen von B. Riemann (Gött. Abh. XIII. 1867), E. Beltrami (Mem. d. Bologna (2) VII. 1868), und die Werke von Todhunter (History of the progress of the calculus of variations, Cambridge und London 1861) und J. Plateau (Statique expérimentale, s. oben). Herr Ossian Bonnet zeigte (Liouville J. (2) V. 221-252), mit Hülfe der durch parallele Normalen vermittelten Beziehung der Punkte einer Minimalfläche zu den Punkten einer Kugelfläche mit dem Radius 1, dass jedem System isometrischer Linien auf der Kugelfläche ein eben solches auf der Minimalfläche entspricht. Dadurch ergiebt sich die Möglichkeit, jede der beiden Flächen auf die andere conform abzubilden. Herr Schwarz zeigt in der ersten Note, dass sich dieses Resultat sowie einige allgemeinere die Minimalflächen betreffenden Sätze einfach ableiten lassen, wenn man die unabhängigen Variabeln \(p,q\), als deren Functionen die rechtwinkligen Coordinaten \(x,y,z\) eines Punktes der Minimalfläche angesehen werden, so wählt, dass \(p= \text{const.}\), \(q=\text{const.}\) die beiden Schaaren der Krümmungslinien der Fläche werden (Note A). Durch Einführung der complexen Grössen \(s,s_1\) als unabhängige Variable, und der Function \[ {\mathfrak F}(s)= {\textstyle \frac12} \biggl( \frac{d\sigma}{ds} \biggr)^2, \quad (\sigma=p+q i), \] zeigte Herr Weierstrass (Berl. Ber. 1866, p. 618 sq.), dass zu jeder Function \({\mathfrak F}(s)\) eine Minimalfläche gehört, und diese Fläche ist stets dann, und nur dann algebraisch, wenn \(F(s)\) die \(3^{\text{te}}\) Ableitung einer algebraischen Function von \(s\) ist. Daraus ergiebt sich folgender Satz, den Herr Weierstrass i. J. 1865 seinen Zuhörern mitgetheilt: “Ordnet man die Punkte zweier Minimalflächen \(F_1\) und \(F_2\) in der Weise einander zu, dass die Normalen beider Flächen in entsprechenden Punkten einander parallel sind, und construirt zu jedem Paare entsprechender Punkte von \(F_1\) und \(F_2\) einen \(3^{\text{ten}}\) Punkt, dessen Coordinaten bezüglich der Summen der gleichnamigen Coordinaten der beiden entsprechenden Punkte sind, so beschreibt auch dieser \(3^{\text{te}}\) Punkt eine Minimalfäche, und die Tangentialebenen in entsprechenden Punkten der drei Minimalflächen sind einander parallel” (Note \(B\)). Die Substitution \(e^{i\alpha} {\mathfrak F}(s)\) für \({\mathfrak F}(s)\) führt auf eine Biegungsfläche der Minimalfläche, welche wieder eine Minimalfläche ist (Note C). Sind ferner die 3 Grössen \[ \begin{aligned} u&= x+{\mathfrak x}i= \int_{s_0}^s (1-s^2) {\mathfrak F}(s)ds,\\ v&= y+{\mathfrak y}i= \int_{s_0}^s (1+s^2) {\mathfrak F}(s)ds,\\ w&= z+{\mathfrak z}i= \int_{s_0}^s 2s\,{\mathfrak F}(s)ds \end{aligned} \] im Sinne der neueren Functionentheorie drei Functionen derselben complexen Grösse \(t\), so dass identisch \[ \biggl( \frac{du}{dt} \biggr)^2+ \biggl( \frac{dv}{dt} \biggr)^2+ \biggl( \frac{dw}{dt} \biggr)^2=0, \] so stellen die Gleichungen \[ x= {\mathfrak R}(u), \quad y= {\mathfrak R}(v), \quad z={\mathfrak R}(w), \] wenn \(x,y,z\) rechtwinklige Punktcoordinaten bezeichnen, in allgemeinster Weise eine Minimalfläche dar. Sind \(u_1,v_1,w_1\) die zu \(u,v,w\) conjugirten complexen Grössen, so ist \[ dt^2= dx^2+ dy^2+ dz= {\textstyle \frac12} (du\cdot du_1+ dv\cdot dv_1+ dw\cdot dw_1). \] Dieser von Riemann geometrisch interpretirte Satz führt auf mehrere den Flächeninhalt von Minimalstücken betreffende Sätze (Note \(D\)). Im Folgenden wird das allgemeine Problem festgestellt: “Es soll eine Minimalfäche analytisch bestimmt werden, welche durch eine beliebige vorgeschriebene analytische Linie hindurchgeht und längs dieser Linie in jedem Punkte eine vorgeschriebenen Normale besitzt, deren Lage sich längs der gegebenen analytischen Linie nach einem gegebenen analytischen Gesetze ändert”, und die Möglichkeit ihrer Lösung für specielle Fälle hervorgehoben (Note \(E\)). Die Aufgabe, eine Minimalfläche durch eine geschlosene analytische Linie \(L\) zu legen, ist in dem Falle, wo \(L\) aus einer Anzahl geradliniger Strecken besteht, gelöst (siehe F. d. M. V. 412, JFM 05.0412.04) (Note \(F\)). Im Folgendem wird die Frage nach den Minimalflächen berührt, welche auf stetige Weise in sich selbst und folglich auf eine Rotationsfläche verbiegbar sind (Note \(G\)), und darauf die Frage nach den Minimalflächen, welche eine einfach unendliche Schaar nicht gerader vorgeschriebener Linien enthalten (Note \(H\)). Zum Schluss bemerkt der Herr Verfasser, dass die Betrachtung jeder speciellen Minimalfläche mit der Beantwortung einer Frage des Minimums beendet werden kann (Note \(J\)).

MSC:

53A05 Surfaces in Euclidean and related spaces
53A10 Minimal surfaces in differential geometry, surfaces with prescribed mean curvature

Citations:

JFM 05.0412.04