×

Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur. Tome 1. (French) Zbl 0601.65016

É. S. I. Paris etc.: Masson. XXI, 400 p. (1986).
Au moment où le Calcul Scientifique connait une formidable expansion, la publication de cet ouvrage (en deux tomes) est extrêmement opportune. En effet, la modélisation numérique des phénomènes physiques, mécaniques, électrotechniques,..., conduit généralement à la résolution de systèmes d’équations en dimension finie. Pour ce faire, il convient d’utiliser des méthodes numériques rapides, robustes et faciles à mettre en oeuvre.
Parallèlement au développement des générations successives d’ordinateurs, ces méthodes de résolution de systèmes ont elles- mêmes connu des évolutions rapides et profondes. Une des principales originalités de cet ouvrage est de proposer un exposé mathématique, à la fois simple, rigoureux et très bien illustré, de l’ensemble des méthodes de résolution actuellement disponibles, en incluant les plus récentes d’entre elles. De ce fait, cet ouvrage peut être utilisé avec profit par un large public d’étudiants, de chercheurs et d’ingénieurs dont le niveau scientifique peut s’échelonner du premier au troisième cycle de l’enseignement supérieur français. Cet ouvrage comporte 12 Chapitres répartis sur deux tomes (tome 1: Chap. 1 à 6, tome 2: Chap. 7 à 12); chacun des 2 tomes contient une bibliographie très complète, une table des matières détaillée ainsi que l’index des deux tomes. Chacun des Chapitres comporte de nombreux exercices que le lecteur pourra résoudre à la plume et, pour certains d’entre eux, vérifier ensuite sur ordinateur.
Très brièvement, le contenu des Chapitres s’analyse comme suit: Chapitre 1: Révisions et préliminaires. On y rappelle les principales définitions et propriétés concernant les vecteurs, matrices, valeurs et vecteurs propres, les diverses normes, la forme Hermitienne associée à une matrice Hermitienne, et les polynômes de Chebyshev.
Chapitre 2: Exemples modèles de problèmes. On montre tout d’abord comment la solution d’un problème de diffusion peut être approchée dans un espace de dimension finie, et comment cette approximation se ramène à la résolution d’un système linéaire. Ensuite, le problème du flambage d’une barre donne un exemple représentatif des problèmes de valeurs propres. Chapitre 3: Conditionnement. Diverses notions de conditionnements sont introduites dans ce Chapitre. Elles permettent de traiter le délicat problème des effets des différents types d’erreurs effectuées sur les données ou lors des calculs matriciels (erreurs d’arrondis, notamment). Chapitre 4: Méthodes directes pour la résolution de systèmes linéaires. On considère ici la résolution d’un système linéaire \(Ax=b\), dont la matrice A est pleine, par la méthode classique d’élimination de Gauss. L’efficacité de cette méthode est évaluée en détail et plusieurs cas particuliers sont étudiés (A tridiagonale, A de forme Hessenberg, A symétrique définie positive, A symétrique non définie positive). Plusieurs variantes sont considérées entraînant des modifications sensibles sur le nombre d’accès à la mémoire auxiliaire. Chapitre 5: Méthodes directes pour les matrices creuses. L’utilisation de la méthode des éléments finis conduit généralement à la résolution de systèmes linéaires de grandes dimensions dont les matrices sont très creuses. On analyse dans ce Chapitre le cas de matrices symétriques, définies positives. L’efficacité des méthodes proposées est fonction des algorithmes de renumérotation et des structures de rangement des matrices; ces diverses questions sont examinées en détail. Chapitre 6: Résolution de problèmes de moindres carrés. Après avoir présenté deux exemples, on démontre les résultats classiques d’existence et d’unicité. Ces problèmes sont alors résolus par utilisation d’une factorisation \(A=QR\) où Q est une matrice orthogonale et R une matrice triangulaire. Cette factorisation est réalisée numériquement par la méthode de Householder, ou bien par des transformations de Givens. Ce Chapitre se termine par l’étude de la modification d’un problème de moindres carrés.
[Pour tome 2 voir le résumé suivant.]
Reviewer: M.Bernadou

MSC:

65Fxx Numerical linear algebra
65-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to numerical analysis
15-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to linear algebra
65N22 Numerical solution of discretized equations for boundary value problems involving PDEs
65G50 Roundoff error
15A23 Factorization of matrices
00A06 Mathematics for nonmathematicians (engineering, social sciences, etc.)

Citations:

Zbl 0601.65017