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Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur. Tome 2. (French) Zbl 0601.65017
É. S. I. Paris etc.: Masson. XXIV, pp. 401-790 (1987).
[Pour tome 1 et des notes générales voir le résumé précédent.]
Chapitre 7: Méthodes itératives de relaxation. Dans ce Chapitre, on décrit les méthodes de relaxation par points et par blocs puis on établit la convergence de ces méthodes pour les matrices à diagonale dominante et pour les matrices symétriques définies positives. On examine ensuite le délicat problème de la recherche du paramètre optimal ainsi que les possibilités d’accélération de la convergence basées sur l’utilisation de polynômes de Chebyshev. Finalement, on examine une autre alternative liée à l’utilisation de méthodes de directions alternées. Chapitre 8: Méthodes de gradient conjugué. Après un rappel des méthodes de gradient, ce Chapitre aborde en détail les méthodes de gradient conjugué appliquées à la résolution de systèmes linéaires dont les matrices sont symétriques et définies positives. On examine ensuite certaines techniques de préconditionnement qui permettent d’accélérer notablement la vitesse de convergence et d’obtenir ainsi des méthodes plus efficaces que celles de type relaxation. Enfin, quelques extensions aux cas de matrices non nécessairement symétriques et définies positives sont considérées. Chapitre 9: Méthodes rapides (Fourier et multigrilles). On considère ici le problème particulier de l’équation de diffusion avec conditions aux limites de Dirichlet, formulé sur un domaine rectangulaire discrétisé à l’aide d’une grille de \(M\times N\) points intérieurs, ce qui conduit à une matrice d’ordre MN. Les méthodes rapides proposées ici fournissent la solution en un nombre d’opérations proportionnel à MN. Ce sont la méthode de Fourier-tridiagonale d’une part, la méthode multigrille d’autre part. Chapitre 10: Valeurs et vecteurs propres: les méthodes de la puissance itérée. Dans ce Chapitre on considère des méthodes permettant de calculer une ou quelques valeurs propres ainsi que les vecteurs propres associés. Ce sont successivement la méthode de la puissance itérée, la méthode de la puissance inverse, la méthode de l’itération du quotient de Rayleigh, la méthode de l’itération du sous-espace et la méthode de Lanczos. Chapitre 11: Valeurs et vecteurs propres: méthodes de Jacobi, bissection, QR. Dans ce Chapitre sont décrites les principales méthodes de calcul de toutes les valeurs propres d’une matrice. Pour une matrice réelle et symétrique, il est proposé la méthode de Jacobi, et dans le cas général, la méthode QR. Enfin, la méthode de bissection permet la localisation et le calcul des valeurs propres. Chapitre 12: Logiciels d’algèbre linéaire. Dans ce Chapitre sont données quelques considérations générales concernant l’implémentation des algorithmes. Ces considérations sont suivies d’une revue des principaux logiciels disponibles sur le marché.
En conclusion, il s’agit d’un ouvrage complet, clair, très agréable à utiliser. Il est souhaitable qu’une traduction en anglais le rende rapidement accessible à un milieu scientifique beaucoup plus large.
Reviewer: M.Bernadou

MSC:
65Fxx Numerical linear algebra
65-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to numerical analysis
65N22 Numerical solution of discretized equations for boundary value problems involving PDEs
00A06 Mathematics for nonmathematicians (engineering, social sciences, etc.)