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A Riemann-Hilbert type problem for a degenerate elliptic system of first order equations. (Russian) Zbl 0604.35028

In einem beschränkten Gebiet D des \({\mathbb{R}}^ 3\), das in \(\{z>0\}\) liegt, für \(z=0\) durch ein Gebiet \(D_ 0\) und für \(z>0\) durch eine Lyapunov-Fläche \(\Gamma\) berandet wird, werden Randwertprobleme für ein elliptisches System erster Ordnung für vier Funktionen u,v,w,s untersucht \((\mu \geq 0;a_ i,d_ j,b_ 1,c_ 1\) reelle Konstanten): (1) \[ u_ x-v_ y+w_ z=a_ 1z^{1+\mu}s+b_ 1u+c_ 1v+d_ 1w, \]
\[ z^{\mu}s_ x-v_ z-w_ y=a_ 2z^{\mu}s+d_ 2w,\quad z^{\mu}s_ y-u_ z+w_ x=a_ 3z^{\mu}s+d_ 3w, \]
\[ z^{\mu}s_ z+u_ y+v_ x=a_ 4z^{1+\mu}s-d_ 2u+d_ 3v. \] Gesucht sind Lösungen \(s,w\in C^ 2(D)\cap H_{\lambda}(\bar D)\), \(u,v\in C^ 1(D)\cap H_{\lambda}(\bar D)\) mit \[ a)\quad s|_{\Gamma}=f_ 1,\quad b)\quad w|_{\Gamma \cup D_ 0}=f_ 2,\quad c)\quad \alpha u+\beta v=h\quad auf\quad \partial D_ 0 \]
\[ a')\quad z^{\mu -1}s|_{\Gamma}=f_ 1,\quad b')=b),\quad c')=c). \] Es lassen sich u and v durch s und w ausdrücken. s genügt einem Randwertproblem für eine Gleichung 2. Ordnung, die den Euler-Poisson- Darboux Operator enthält. Bei bekanntem s genügt w einer Gleichung 2. Ordnung mit \(\Delta\) w als Hauptteil.
Es wird gezeigt, daß die gestellten Probleme stets lösbar sind, und es werden Koeffizientenbedingungen angegeben, die Eindeutigkeit nach sich ziehen.

MSC:

35J70 Degenerate elliptic equations
35J55 Systems of elliptic equations, boundary value problems (MSC2000)
35C15 Integral representations of solutions to PDEs
35Q05 Euler-Poisson-Darboux equations
35B65 Smoothness and regularity of solutions to PDEs
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