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The surfaces of Delaunay. (English) Zbl 0605.53002

Der in Rußland tätige Astronom Charles Delaunay bestimmte (1841) zuerst die Drehflächen mit konstanter mittlerer Krümmung des euklidischen Raumes. Ihre Meridiankurven m lassen sich erzeugen als die Bahnkurven der Brennpunkte von Kegelschnitten k, die ohne zu gleiten auf einer ihrer Tangenten abrollen. Abgesehen von einfachen Grenzfällen (Kreise, Geraden) gibt es drei gestaltlich verschiedene Delaunaysche Kurven m, je nachdem die rollende Kurve k eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel ist.
Die Note beginnt mit einer sehr einfachen geometrischen Eigenschaft der Delaunayschen Kurven m. Schon R. Sturm (1841) identifizierte die Kurven m mit den Lösungen eines einfachen isoperimetrischen Problems. Die Delaunayschen Flächen M mit konstanter mittlerer Krümmung lassen sich gasdynamisch als Seifenhäutchen darstellen, die Gase mit konstantem Innendruck umschließen.
In neuerer Zeit (1970) erkannten E. A. Ruh und J. Vilms [Trans. Am. Math. Soc. 149, 569-573 (1970; Zbl 0199.561)], daß eine Fläche M genau dann konstante mittlere Krümmung besitzt, wenn ihre Gaußsche Abbildung \(\gamma\) auf die Kugel S der Laplaceschen Gleichung \(\Delta \gamma =\| d\gamma \|^ 2\) genügt. Das Energieintegral \(E(\gamma)=\int_{M}\| d\gamma \|^ 2\) ist konform invariant. E. T. Smith gab 1972 für die Delaunayschen Flächen eine einfache auf mechanische Analogien beruhende Deutung als Lösung eines gewissen Pendelproblems.
Reviewer: K.Strubecker

MSC:

53A05 Surfaces in Euclidean and related spaces
53C42 Differential geometry of immersions (minimal, prescribed curvature, tight, etc.)
53-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to differential geometry

Citations:

Zbl 0199.561
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References:

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