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Residues and traces of differential forms via Hochschild homology. (English) Zbl 0606.14015
Contemporary Mathematics, 61. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS). VII, 95 p. $ 16.00 (1987).
Bekanntlich ist es ein kompliziertes Problem, Differentialformen auf einer algebraischen Varietät in den Punkten der Varietät ein natürliches Residuum zuzuordnen, welches das klassische Residuum auf algebraischen Kurven verallgemeinert. Dieser Aufgabe sind zahlreiche Veröffentlichungen gewidmet, wie man den Literaturverzeichnissen der vorliegenden Arbeit sowie der Monographie des Autors [”Dualizing sheaves, differentials and residues on algebraic varieties” (Astérisque 117 (1984; Zbl 0562.14003)] entnehmen kann.
In der jetzigen Veröffentlichung schlägt der Verf. eine sehr allgemeine Konstruktion des Residuums vor, die auch elementar in dem Sinne ist, daß nur Grundtatsachen der Ringtheorie und der homologischen Algebra benutzt werden. Die grundlegende Idee der Arbeit ist (in vereinfachter Darstellung) die folgende: Es ist verhältnismäßig leicht, den Hochschildhomologieklassen einer (nicht notwendig kommutativen, aber assoziativen) Algebra R/A natürliche Residuen zuzuordnen. Eigenschaften dieser Residuen werden dann mit Hilfe des homologischen Kalküls abgeleitet. Für kommutative Algebren hat man eine natürliche Abbildung der Differentialformen- Algebra \(\Omega_{R/A}\) in die Hochschild-Homologie, mit deren Hilfe und mit den schon konstruierten Residuen in der Hochschildhomologie auch Residuen von Differentialformen gewonnen werden. Viele ihrer Eigenschaften lassen sich dann aus denen der Residuen für Hochschild- Homologieklassen herleiten. - Neben der Durchführung dieses Programms und der Erläuterung der Konstruktionen anhand zahlreicher Beispiele ist es ein weiteres Anliegen des Autors, die Beziehungen seines Residuums zu früher definierten Residuen aufzuzeigen und insbesondere die Formeln für das Grothendiecksche Residuensymbol [R. Hartshorne, ”Residues and duality”, Lect. Notes Math. 20 (1966; Zbl 0212.261); S. 197-199] mit seinen Methoden zu beweisen und zu verallgemeinern. (Für die Formel (R4) scheint dies bisher noch nicht gelungen zu sein).
Der vom Verf. eingeschlagene Weg erlaubt es auch, unter gewissen Voraussetzungen Spuren von Differentialformen via Hochschild-Homologie zu definieren. In der Monographie wird die Konstruktion der Spur angegeben, sie wird anhand von Beispielen illustriert und es werden Spurformeln für Residuen hergeleitet. Anregungen des Verf. folgend hat R. Hübl [”Spuren von Differentialformen und Hochschild-Homologie” (Dissertation, Regensburg 1987)] eine ausführliche Untersuchung der so konstruierten Spuren vorgenommen und viele ihrer Eigenschaften ermittelt.
Reviewer: E.Kunz

MSC:
14F10 Differentials and other special sheaves; D-modules; Bernstein-Sato ideals and polynomials
16E40 (Co)homology of rings and associative algebras (e.g., Hochschild, cyclic, dihedral, etc.)
32A27 Residues for several complex variables
14-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to algebraic geometry
13-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to commutative algebra
13N05 Modules of differentials
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