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Explicit formulas and lower bounds for the conductors of algebraic varieties. (Formules explicites et minorations de conducteurs de variétés algébriques.) (French) Zbl 0607.14012
Der Autor gibt “explizite Formeln” an für Funktionen mit Eulerproduktdarstellung, die einer Funktionalgleichung genügen. Eine Anwendung dieser Formeln auf \(L\)-Reihen von Modulformen vom Gewicht \(k\) und Stufe \(N\) zeigt, daß die Nullstellenordnung dieser \(L\)-Reihen bei \(s=k/2\) durch den Logarithmus von \(k^ 2N\) nach oben abgeschätzt werden kann. Für elliptische Kurven \(E\) über \(\mathbb Q\) ergibt dies (unter Annahme der Richtigkeit wohlbekannter Vermutungen), daß der Rang des \(\mathbb Z\)-Moduls \(E(\mathbb Q)\) durch den Logarithmus des Führers von \(E\) über \(\mathbb Q\) majorisiert wird. Umgekehrt kann der Autor aus den expliziten Formeln schließen (wieder unter Berücksichtigung gewisser Vermutungen), daß der Führer einer Abelschen Varietät über \(\mathbb Q\) der Dimension \(r\) größer als \(10^ r\) ist.

MSC:
11G40 \(L\)-functions of varieties over global fields; Birch-Swinnerton-Dyer conjecture
11G05 Elliptic curves over global fields
14G10 Zeta functions and related questions in algebraic geometry (e.g., Birch-Swinnerton-Dyer conjecture)
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Full Text: Numdam EuDML
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