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Duality theorems for \(\Gamma\)-extensions of algebraic number fields. (English) Zbl 0608.12012
Ein interessantes Problem in der Theorie der \({\mathbb{Z}}_ p\)-Erweiterungen algebraischer Zahlkörper ist die Existenz von Funktionalgleichungen für die charakteristischen Polynome gewisser Iwasawa-Moduln. Sei K ein total reeller Zahlkörper. Sie \({\mathcal K}=K(\mu_ p)\) und \({\mathcal K}_{\infty}\) die zyklotomische \({\mathbb{Z}}_ p\)-Erweiterung von \({\mathcal K}\) mit der Galoisgruppe \(\Gamma\). Sei A die p-primäre Komponente der Klassengruppe von \({\mathcal K}_{\infty}\) und \(A^-\) der (-1)-Eigenraum von A unter der komplexen Konjugation. Das Pontryagin-Dual \((A^-)^*\) von \(A^-\) ist ein endlich-erzeugter Torsionsmodul über \({\mathbb{Z}}_ p[[ \Gamma ]]\). Für eine topologische Erzeugende \(\gamma_ 0\) von \(\Gamma\) betrachtet man das charakteristische Polynom von \(\gamma_ 0\) auf dem endlich-dimensionalen \({\mathbb{Q}}_ p\)-Vektorraum \((A^-)^*\otimes {\mathbb{Q}}_ p\). Dieses ist von großem Interesse; durch die sog. Hauptvermutung wird es in Beziehung zur p-adischen Zetafunktion von \({\mathcal K}^+\) gesetzt.
Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, eine Funktionalgleichung für das um gewisse lokale Faktoren erweiterte charakteristische Polynom von \((A^-)^*\otimes {\mathbb{Q}}_ p\) zu beweisen. Dazu definiert und untersucht der Autor einen Iwasawa-Modul \({\mathcal L}_-\) (ebenso einen Iwasawa-Modul \({\mathcal L}_+\), der aber vermutungsweise verschwindet); im Spezialfall, daß keine über p liegende Primstelle von \({\mathcal K}^+\) in \({\mathcal K}\) zerfällt, ist \({\mathcal L}_-\) die Galoisgruppe der Erweiterung M’/ \({\mathcal K}_{\infty}\), wobei M’ das Kompositum der maximalen außerhalb p unverzweigten abelschen p-Erweiterung von \({\mathcal K}^+\) und des Hilbertschen p-Klassenkörpers von \({\mathcal K}_{\infty}\) ist. Das erste Hauptresultat über \({\mathcal L}_-\) besteht in der Konstruktion einer nicht-ausgearteten schiefsymmetrischen und \(\Gamma\)-invarianten Paarung auf dem Vektorraum \({\mathcal L}_-\otimes {\mathbb{Q}}_ p\); diese impliziert eine Funktionalgleichung für das charakteristische Polynom von \(\gamma_ 0\) auf \({\mathcal L}_-\otimes {\mathbb{Q}}_ p.\)
Als zweites Hauptresultat wird bewiesen, daß das betrachtete charakteristische Polynom das Produkt der charakteristischen Polynome von \((A^-)^*\) und gewisser lokaler Galoisgruppen ist. Diese Ergebnisse beruhen auf einer systematischen Verwendung des globalen Dualitätssatzes von Tate-Poitou und auf einer genauen Untersuchung der \({\mathbb{Z}}_ p[[ \Delta \otimes \Gamma ]]\)- Struktur gewisser lokaler Galoisgruppen. Über den Modul \({\mathcal L}_-\) beweist der Autor noch eine Reihe weiterer interessanter Ergebnisse, so u.a. eine Riemann-Hurwitz-Formel bezüglich endlicher p-Erweiterungen.
Reviewer: G.Tamme

MSC:
11R37 Class field theory
11R34 Galois cohomology
11R18 Cyclotomic extensions
11S40 Zeta functions and \(L\)-functions
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Full Text: Numdam EuDML
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