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Elliptic functions and rings or integers. (English) Zbl 0608.12013
Progress in Mathematics, Vol. 66. Boston - Basel - Stuttgart: Birkhäuser. xvii, 198 pp. DM 72.00 (1987).
Das Buch ist aus einer Reihe von Vorträgen entstanden, die M. J. Taylor als Gastprofessor an der Universität Bordeaux gehalten hat.
Die klassische Theorie der komplexen Multiplikation liefert elliptische Funktionen, deren singuläre Werte abelsche Erweiterungen imaginär- quadratischer Zahlkörper erzeugen (Kroneckers Jugendtraum).
Das Hauptthema des Buches ist das Studium elliptischer Funktionen, deren singuläre Werte den Ring der ganzen algebraischen Zahlen von Klassenkörpern imaginär-quadratischer Zahlkörper erzeugen. Die richtige Wahl dazu sind die Funktionen aus R. Fueters in Vergessenheit geratenem Buch ”Vorlesungen über die singulären Moduln und die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen”, Bde. I und II (Teubner, Leipzig-Berlin (1924; JFM 50.0101.01), (1927; JFM 53.0141.10).
Das zu referierende Buch ist sehr interessant, und da die Sprache der komplexen Funktionentheorie und der elliptischen Funktionen benutzt wird, besonders leicht lesbar. Zu kritisieren ist lediglich die unübersichtliche Art der Numerierung von Definitionen, Sätzen etc. und das Fehlen der Kapitelnummer auf jeder Seite, das ein Nachschlagen erschwert.
Nun zum Inhalt der einzelnen Kapitel: Das erste Kapitel enthält einige Resultate aus der Theorie der Kreiskörper, mit Hilfe derer später der Parallelismus zu den neuen Resultaten aufgezeigt wird. Das zweite und dritte Kapitel stellen eine kurze Zusammenfassung von Resultaten aus der Klassenkörpertheorie bzw. der Theorie der elliptischen Funktionen dar, die in den weiteren Kapiteln benötitgt werden.
Im vierten und fünften Kapitel werden die Eigenschaften der elliptischen Funktionen von Fueter bzw. der Ideale, die von Teilwerten dieser Funktionen erzeugt werden nach dem Muster von Fueters Buch studiert. Das sechste Kapitel enthält die Theorie der Abelschen Resolventen, das siebte und achte Kapitel die für das Weitere benötigten Ergebnisse aus der Theorie der Modulfunktionen und der klassischen komplexen Multiplikation.
In Kapitel neun wird untersucht, wie die Galoisgruppe von Klassenkörpern auf den singulären Werten verschiedener elliptischer Funktionen und Modulfunktionen operiert. Kapitel zehn beschreibt die Galoismodul-Struktur des Rings der ganzen algebraischen Zahlen einiger lokaler Erweiterungen mit Hilfe der Lubin-Tate-Theorie der formalen Gruppen.
Im elften Kapitel schließlich wird das Ziel des Buches erreicht, nämlich die Konstruktion des erzeugenden Elementes des Ringes der ganzen algebraischen Zahlen von gewissen algebraischen Erweiterungen imaginär-quadratischer Zahlkörper. Das Buch schließt mit einem Anhang über die Beziehungen zwischen den Funktionen von Fueter und elliptischen Einheiten.

MSC:
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11R33 Integral representations related to algebraic numbers; Galois module structure of rings of integers
11G15 Complex multiplication and moduli of abelian varieties
11F03 Modular and automorphic functions
11R18 Cyclotomic extensions
11R37 Class field theory
33E05 Elliptic functions and integrals
14L05 Formal groups, \(p\)-divisible groups