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Complex functions. An algebraic and geometric viewpoint. (English) Zbl 0608.30001
Cambridge etc.: Cambridge University Press. XIV, 342 p. (1987).
Das Buch von Jones and Singermann setzt Kenntnisse aus der Funktionentheorie, Algebra and Topologie voraus, also aus Vorlesungen, die an deutschen Universitäten am Ende des Grundstudiums bzw. am Anfang des Hauptstudiums gehalten werden. Hiermit ist der angesprochene Leserkreis ziemlich groß gehalten: Mathematikstudenten im Hauptstudium, Diplommathematiker, aber auch Diplomphysiker. Das Buch erweist sich auch für Mathematikdozenten zur Vorbereitung weiterführender Vorlesungen auf dem Gebiet der Funktionentheorie als sehr nützlich, besonders hervorzuheben sind hier die interessanten Übungsaufgaben, die jedem Kapitel angehängt sind.
Das erste Kapitel behandelt die Einpunktkompaktifizierung der komplexen Ebene zur Riemannschen Zahlenkugel \(\Sigma ={\mathbb{C}}\cup \{\infty \}\) unter Verwendung der stereographischen Projektion. Als Hauptergebnis wird bewiesen, daß die meromorphen Funktionen auf \(\Sigma\) genau die rationalen Funktionen sind.
Im zweiten Kapitel werden die Möbiustransformationen, also die Gruppe \(Aut(\Sigma) \approx PGL(2,{\mathbb{C}}) \approx PSL(2,{\mathbb{C}})\), untersucht. Das beinhaltet u.a. die Erläuterung der endlichen Untergruppen von \(PGL(2,{\mathbb{C}})\) sowie die Behandlung von \(PGL(2,{\mathbb{C}})\) als Galoisgruppe der Körpererweiterung \({\mathbb{C}}\subset {\mathbb{C}}(z).\)
Das nächste Kapitel ist den elliptischen Funktionen gewidmet. Dabei entwickeln die Autoren die Begriffe uniforme und normale Konvergenz mit deren Eigenschaften und die Theorie der unendlichen Produkte. Die Verbindung zur Geometrie wird, wie oft in diesem Buch, in den Vordergrund gestellt, z.B. bei der Behandlung der reellen elliptischen Kurven.
Das vierte Kapitel - meromorphe Fortsetzung und Riemannsche Flächen - ist das Kernstück des Buches. Die Autoren gehen zuerst von den folgenden zwei Fragen aus:
Gibt es zu einer gegebenen meromorphen (bzw. holomorphen), auf einem Gebiet \(D\subset \Sigma\) definierten Funktion eine meromorphe (bzw. holomorphe) Fortsetzung auf einem echt umfassenden Gebiet E ?
Gibt es zu einer mehrdeutigen Funktion (z.B. Logarithmus) eine Darstellung als eine eindeutig definierte Funktion auf einem geeigneten Gebiet ?
Dabei wird der Begriff ”analytische” bzw. ”meromorphe Fortsetzung” ausführlich untersucht und das Monodromietheorem bewiesen. Anschließend führt die Behandlung der ”konkreten” Riemannschen Flächen des Logarithmus und der Wurzelfunktion, in natürlicher Weise hin zu dem Begriff der ”abstrakten” Riemannschen Fläche. Als weiteres Beispiel erläutern die Autoren die Riemannsche Fläche einer algebraischen Funktion. Dann werden die grundlegenden Begriffe aus der Theorie der Riemannschen Flächen behandelt: Meromorphe und holomorphe Funktionen, Geschlecht, Orientierbarkeit, konforme Äquivalenz, Automorphismus, usw.. Die Formel von Riemann-Hurwitz und der Satz über die konforme Äquivalenz von Tori schließen sich an, und zum Schluß des Kapitels wird unter Benutzung des (ohne Beweis angegeben) Uniformisierungssatzes von Klein, Poincaré und Koebe das (für den weiteren Verlauf der Theorie sehr wichtige) Theorem 4.19.8 gezeigt: Ist S eine zusammenhängende Riemannsche Fläche, welche weder zur Riemannschen Zahlenkugel \(\Sigma\) noch zur Ebene \({\mathbb{C}}\) noch zur punktierten Ebene \({\mathbb{C}}\setminus \{0\}\) noch zu einem Torus \({\mathbb{C}}/\Omega\) konform äquivalent ist, so hat S die obere Halbebene U als universelle Überlagerung und ist konform äquivalent zu U/G, wobei G eine auf U diskontinuierlich operierende Untergruppe von \(PSL(2,{\mathbb{R}})\) ist.
Im fünften Kapitel werden \(PSL(2,{\mathbb{R}})\) und seine diskreten Untergruppen untersucht. Dabei ergibt sich ein kleiner Exkurs in die hyperbolische Geometrie; u.a. werden die Formel von Gauß-Bonnet und grundlegende Eigenschaften der Fuchsschen Gruppen und deren Fundamentalbereiche untersucht. Das findet seine Anordnung beim Studium der Automorphismen kompakter Riemannscher Flächen. Es wird der Schwarz- Siegelsche (diese Quelle ist leider in den Literaturhinweisen nicht erwähnt) Beweis des Hurwitzschen Satzes über die obere Schranke der Anzahl der Automorphismen einer kompakten Riemannschen Fläche vom Geschlecht \(g\geq 2\) angegeben.
Das letzte Kapitel behandelt die Modulgruppe \(\Gamma\), die Modulfunktion \(J: U\to {\mathbb{C}}\) und die Untergruppen von \(\Gamma\). Die Lektüre dieses sehr gut konzipierten, elegant geschriebenen Buches bereitet dem Leser nicht zuletzt wegen der klaren Darstellung, nützlicher Zeichnungen und weiterführender Ausblicke viel Freude. Eine längere Literaturliste (in welcher die Bücher von Gunning unf Forster über Riemannsche Flächen nicht fehlen dürfen) hätte ich als nützlich empfunden. Der ausgezeichnete Gesamteindruck wird durch eine sehr gute optische Präsentation unterstrichen.
Reviewer: A.Duma

MSC:
30-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to functions of a complex variable
30Fxx Riemann surfaces
14-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to algebraic geometry