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Equations fonctionnelles et recherche de sous-groupes. (French) Zbl 0611.39004

Le but de cet travail est de déterminer les sous-groupes d’un groupe donné, dans des conditions plus générales que celles connues. A cet effet on considère le produit cartésien \(G=F_ 1\times F_ 2\), où \(F_ 1\), \(F_ 2\) sont des ensembles non-vides et une loi de composition interne *, donc (G,*) est un groupoïde. Pour l’étude des sous- groupoïdes de (G,*), paramètrés à partir d’un ensemble E non- vide des paramètres, on donne la définition: un sous ensemble \(H\subset G\) ”depend fidèlement” de l’ensemble E s’il existe une surjection \(g: E\to H\), \(g(u)=(\alpha (u),\beta (u))\) (u\(\in E)\) tel que soit \(\beta (E)=F_ 2\) et \(\alpha (u)=\alpha (u')\) si \(\beta (u)=\beta (u')\), soit \(\alpha (E)=F_ 1\) et \(\beta (u)=\beta (u')\) si \(\alpha (u)=\alpha (u')\). On dit simplement que H posède une paramétrisation fidèle. On introduit aussi une deuxième définition pour une ”paramétrisation fidèle et continue”.
Parmi les grand nombre des résultats, nous signalons les suivantes. La détermination des sous-groupoïdes H de groupoïde (G,*), qui possèdent une paramétrisation fidèle et continue est liée au solutions d’une des équations fonctionnelles \((f(z),z)=(f(x),x)*(f(y),y)),\) \(x,y\in F_ 2\), \(f(x),f(y)\in F_ 1\); \((z,f(z))=(x,f(x))*(y,f(y)),\) \(x,y\in F_ 1\), \(f(x),f(y)\in F_ 2\). Dans le cas particulier quand G est un demi-groupe de transformations affines d’un groupe additif \(F_ 2\), on arrive à l’équation fontionnelle de Gołąb-Schnizel \(f[f(x)y+x]=f(x)f(y),\) \(x,y\in F_ 2\) [voir J. Aczél et S. Gołab, ibid. 4, 1-10 (1970; Zbl 0205.148)]. On obtient aussi des résultats pour le cas où \(F_ 2\) est l’espace \(R^ n\) et \(F_ 1\) le groupe des automorphismes de \(R^ n\), en résolvant complement le cas \(n=2\), sous l’hypothèse de paramétrisation fidèle et continue.
Soit F un demi-groupe multiplicatif opérant sur un groupe additif \(F_ 2\) et \((\alpha,\beta)*(\alpha ',\beta ')=(\lambda \alpha \alpha ',\alpha \beta '+\alpha '\beta)\) (\(\lambda\) élément fixé de \(F_ 1)\). La recherche des sous-groupoïdes de (G,*), possédant une paramétrisation fidèle, conduit en particulier à la résolution de l’équation fonctionnelle \(f[f(x)y+f(y)x]=\lambda f(x)f(y),\) \(x,y\in F_ 2\), pour laquelle on donne toutes les solutions continues, lorsque \(F_ 1\in R\) et \(F_ 2\) est un espace vectoriel topologique sur \(R\).
Reviewer: N.Ghircoiaşiu

MSC:

39B52 Functional equations for functions with more general domains and/or ranges
22E30 Analysis on real and complex Lie groups
20L05 Groupoids (i.e. small categories in which all morphisms are isomorphisms)

Citations:

Zbl 0205.148
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