Sur le volume minimal de \({\mathbb{R}}^ 2\). (On the minimal volume of \({\mathbb{R}}^ 2)\). (French) Zbl 0611.53038

Bavard, Christophe; Pansu, Pierre

Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 19, No. 4, 479-490 (1986).

Notons respectivement K, A et i la courbure, l’aire et le rayon d’injectivité d’une surface riemannienne lisse. Pour les métriques à \(| K| \leq 1\) sur la sphère \({\mathbb{S}}^ 2\) on établit l’inégalité optimale suivante: \[ i^ 2+1/32(A-4\pi)^ 2\geq \pi^ 2 \] avec comme corollaire le calcul du volume minimal de \({\mathbb{R}}^ 2\), i.e. \[ Inf\{A(g);\quad g\text{ complète à } | K| \leq 1\text{ sur }{\mathbb{R}}^ 2\} = 2\pi (1+\sqrt{2}). \]

MSC:

53C20

Global Riemannian geometry, including pinching

Keywords:

minimal volume; complete Riemannian surface; injectivity radius; surface area; sectional curvature

References:

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