Some equivariant K-theory of affine algebraic group actions. (English) Zbl 0612.14047

Bass, H.; Haboush, W.

Commun. Algebra 15, 181-217 (1987).

Für die Operationen einer reduktiven algebraischen Gruppe \(G\) auf dem affinen Raum \(X={\mathbb{A}}^ n\) über \({\mathbb{C}}\) besteht die Vermutung, daß sie durch einen globalen polynomialen Koordinatenwechsel linearisierbar sind. - Um allfällige Gegenbeispiele zu finden, betrachteten nun die Autoren die Grothendieckgruppe \(K_ 0(X-G)\) und die Abbildung \(\epsilon: R(G)\to K_ 0(X-G)\), \([U]\mapsto [X\times U]\), wo \(R(G)\) der Charakterring der rationalen G-Moduln ist. - Nach dem Quillen-Suslin-Serre-Theorem folgt nämlich aus der Linearsierbarkeit aller Operationen von \(G\) die Surjektivität von \(\epsilon\) (sogar die Isomorphie). In all den untersuchten Fällen ergab sich dabei ein Isomorphismus!
In der vorliegenden Arbeit wird nun gezeigt, daß diese notwendige Bedingung immer erfüllt ist. Es wird dazu bestätigt, daß Quillens Homotopieinvarianztheorem der algebraischen K-Theorie auch in der äquivarianten Fassung gilt, und zwar auch hier für sämtliche K-Gruppen. Die Verff. beweisen sogar einen wesentlich allgemeineren Homotopieinvarianzsatz für die Operation einer algebraischen Gruppe \(G\) über einem Körper \(k\) auf einer affinen Varietät \(X=Spec(A)\), A regulär, indem sie die entsprechenden Überlegungen Quillens für den äquivarianten Rahmen adaptieren.

Reviewer: H.Reitberger

MSC:

14L30	Group actions on varieties or schemes (quotients)
14C35	Applications of methods of algebraic \(K\)-theory in algebraic geometry
18F30	Grothendieck groups (category-theoretic aspects)

Keywords:

linearization of action of algebraic group; Grothendieck group

References:

[1]	Bass H., Algebraic K-theory (1968)
[2]	Bass H., Amer. Math. Soc 43 pp 1– (1985)
[3]	Bass H., Trans. Amer. Math. Soc 43 (1985)
[4]	Bourbaki N., Algèbre, Ch. 10, Algèbre homologique (1980) · Zbl 0455.18010
[5]	DOI: 10.2307/2373191 · Zbl 0116.02302 · doi:10.2307/2373191
[6]	Lam T.Y., Serre’s Conjecture 635 (1978) · doi:10.1007/BFb0068340
[7]	Luna D., Bull. Soc. Math. France, Mémoire 33 pp 81– (1973) · doi:10.24033/msmf.110
[8]	Quillen D., Algebraic K-theory, Battelle Conference (1972) pp 77– (1973)
[9]	Springer T.A., Invariant theory 585 (1977) · Zbl 0346.20020 · doi:10.1007/BFb0095644