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Some equivariant K-theory of affine algebraic group actions. (English) Zbl 0612.14047
Für die Operationen einer reduktiven algebraischen Gruppe \(G\) auf dem affinen Raum \(X={\mathbb{A}}^ n\) über \({\mathbb{C}}\) besteht die Vermutung, daß sie durch einen globalen polynomialen Koordinatenwechsel linearisierbar sind. - Um allfällige Gegenbeispiele zu finden, betrachteten nun die Autoren die Grothendieckgruppe \(K_ 0(X-G)\) und die Abbildung \(\epsilon: R(G)\to K_ 0(X-G)\), \([U]\mapsto [X\times U]\), wo \(R(G)\) der Charakterring der rationalen G-Moduln ist. - Nach dem Quillen-Suslin-Serre-Theorem folgt nämlich aus der Linearsierbarkeit aller Operationen von \(G\) die Surjektivität von \(\epsilon\) (sogar die Isomorphie). In all den untersuchten Fällen ergab sich dabei ein Isomorphismus!
In der vorliegenden Arbeit wird nun gezeigt, daß diese notwendige Bedingung immer erfüllt ist. Es wird dazu bestätigt, daß Quillens Homotopieinvarianztheorem der algebraischen K-Theorie auch in der äquivarianten Fassung gilt, und zwar auch hier für sämtliche K-Gruppen. Die Verff. beweisen sogar einen wesentlich allgemeineren Homotopieinvarianzsatz für die Operation einer algebraischen Gruppe \(G\) über einem Körper \(k\) auf einer affinen Varietät \(X=Spec(A)\), A regulär, indem sie die entsprechenden Überlegungen Quillens für den äquivarianten Rahmen adaptieren.
Reviewer: H.Reitberger

MSC:
14L30 Group actions on varieties or schemes (quotients)
14C35 Applications of methods of algebraic \(K\)-theory in algebraic geometry
18F30 Grothendieck groups (category-theoretic aspects)
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References:
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