×

zbMATH — the first resource for mathematics

On \(p\)-adic representations for totally real fields. (English) Zbl 0613.12013
Die sog. Hauptvermutung in der Iwasawatheorie besagt, daß für total-reelle Zahlkörper \(F\) die analytisch definierte \(p\)-adische \(L\)-Funktion zu einem \(\mathbb Q_ p\)-wertigen Dirichletcharakter mit der galoistheoretisch definierten Iwasawa \(L\)-Funktion übereinstimmt – cum grano salis. Der Beweis dieser Hauptvermutung (vom Autor gemeinsam mit B. Mazur 1983 für den Grundkörper \(\mathbb Q\) und \(p\neq 2\) erbracht [Invent. Math. 76, 179–330 (1984; Zbl 0545.12005)]) erfordert im Kern die Konstruktion geeigneter unverzweigter abelscher \(p\)-Erweiterungen mit durch den Dirichletcharakter bestimmter Galoisoperation und durch die \(p\)-Teilbarkeit der Werte der \(L\)-Funktion festgelegter Größe.
Während in der gemeinsamen Arbeit mit Mazur diese unverzweigten Erweiterungen unter starker Verwendung der algebraischen Geometrie durch das Studium von Modulkurven und ihrer Spitzen konstruiert werden, geht hier der Autor einen anderen Weg. Dieser hat seinen Ausgangspunkt in K. A. Ribet’s Beweis [ibid. 34, 151–162 (1976; Zbl 0338.12003)] der Umkehrung des Kummer-Herbrandschen Satzes, wobei der Autor zugleich bestrebt ist, die Rolle der algebraischen Geometrie einzugrenzen und dadurch soviel wie möglich für beliebige total-reelle Körper zu beweisen.
Die Arbeit ist in drei Kapitel gegliedert. In Kapitel 1 werden Hilbertsche Modulformen behandelt und zu vorgegebenem \(L\)-Wert eine Eisensteinreihe und dazu wiederum eine Spitzenform konstruiert, die zu der Eisensteinreihe kongruent ist nach einem durch die \(L\)-Funktion gegebenen Modul. Das zentrale 2. Kapitel behandelt die zu solchen Spitzenformen bzw. genauer zu Neuformen gehörenden 2-dimensionalen Galoisdarstellungen, deren Existenz bislang für total-reelle Körper ungeraden Grades gesichert war. In Kapitel 3 werden daraus die gewünschten Darstellungen zusammengesetzt.
Das sich ergebende Hauptresultat ist durch den 2. Schritt auf total-reelle Körper ungeraden Grades beschänkt. Es impliziert die Hauptvermutung für abelsche Grundkörper.
Inzwischen hat der Autor sein Resulat verallgemeinert [On some \(\ell\)-adic representations. Vortrag, 27. Mathematische Arbeitstagung, Bonn, 16.6.1987] für alle total-reellen Körper \(F\), alle Dirichletcharaktere und Primzahlen \(p\neq 2\).

MSC:
11R23 Iwasawa theory
11F80 Galois representations
11R18 Cyclotomic extensions
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI