×

zbMATH — the first resource for mathematics

Nullstellensätze and transcendental numbers. (Lemmes de zéros et nombres transcendants.) (French) Zbl 0613.14001
Sémin. Bourbaki, 38ème année, Vol. 1985/86, Astérisque 145-146, 21-44, Exp. No. 652 (1987).
[For the entire collection see Zbl 0601.00002.]
L’A. présente de façon très agréable les récents développements des lemmes de zéros dans les groupes algébriques commutatifs ainsi que deux de leurs applications.
La première partie de l’article situe d’abord les lemmes de zéros dans un cadre général (14ème problème de Hilbert, lemme de Dyson,...) et rappelle les ”théorèmes de Bézout” utilisés dans les démonstrations, puis donne une esquisse de la preuve du lemme de zéros le plus avancé.
La second partie est consacrée aux applications. D’abord la généralisation du théorème des six exponentielles, due à M. Waldschmidt, ainsi que ses corollaires répondant aux questions de A. Weil sur les caractères de type (A) et \((A_ 0)\) et de J.-P. Serre pour étudier les représentations continues du groupe de Galois Gal\((\bar K/K)\) d’un corps de nombres K dans un \({\mathbb{Q}}_ p\)-espace vectoriel. Ensuite vient la généralisation de la théorie de Baker, due à G. Wüstholz, et ses corollaires sur les périodes de formes différentielles sur des courbes. Enfin les minorations de formes linéaires sont également présentées avec leur application à l’effectivité du théorème de Siegel-Mahler-Lang sur les points S- entiers d’une courbe de genre \(\geq 1.\)
Après la rédaction du texte plusieurs développements sont intervenus et une mise à jour des résultats présentés a été faite par l’insertion de notes ajoutées après la bibliographie. La référence de la \(note\quad (2)\) est maintenant à paraître dans le J. Algebra, tandis que celles des \(notes\quad (5),\quad (6)\) est à paraître dans le Ill. J. Math.
Reviewer: P.Philippon

MSC:
14A05 Relevant commutative algebra
11J81 Transcendence (general theory)
14L30 Group actions on varieties or schemes (quotients)
Full Text: Numdam EuDML