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Progressing wave solutions to certain nonlinear mixed problems. (English) Zbl 0613.35050
Die hier zur Besprechung vorliegende Arbeit hat es sich zum Ziel gesetzt, einen Beitrag zu leisten zur ”mikrolokalen” Analyse der Singularitäten von Lösungen der nichtlinearen Wellengleichung. Da der Akzent bei den (übrigens mit erheblichem technischen Aufwand hergeleiteten) Ergebnissen auf ihrer Ähnlichkeit mit den entsprechenden Ergebnissen im linearen Fall ruht, so erscheint es am erhellendsten, mit der Beschreibung der letzteren zu beginnen: In seiner Arbeit ”Solutions de l’équation des ondes présentant des singularités sur une droite” [C. R. Acad. Sci., Paris 250, 2980-2982 (1960)] ist es M. Zerner gelungen, eine Lösung der Wellengleichung zu konstruieren mit der höchst bemerkenswerten Eigenschaft, daß zwar nicht der Träger dieser Lösung selbst, aber wenigstens ihr singulärer Träger mit der ”Weltlinie” eines sich in dem betreffenden Medium fortpflanzenden Lichtsignals übereinstimmt, und dadurch der alten Idee des erst kürzlich verstorbenen L. de Broglie [vgl. etwa ”La théorie de la double solution” (1956; Zbl 0074.440)] von der Darstellung eines Elementarteilchens als Singularität einer dies Teilchen tragenden ”Führungswelle” (”onde pilote”) wenigstens für den Fall des Photons mathematische Substanz zu verleihen. Diese Singularitäten-Kurven, welche [wie dies dann L. Hörmander in Example 8.3.4 seiner ”Analysis of linear partial differential operators I” (1983; Zbl 0521.35001) herausgearbeitet hat] in der Sprache der Mongeschen Theorie den Träger-Kurven gewisser zur entsprechenden Eikonalgleichung gehörender charakteristischer Streifen entsprechen, lassen sich durch geeignete Superposition zu Singularitäten-Flächen \(\Sigma\) zusammenfügen, wobei aber noch der Fall enthalten ist, daß die entsprechenden charakteristischen Streifen nicht tangential zu \(\Sigma\) verlaufen (man denke an eine ”geöffnete Jalousie”). Die (einer ”geschlossenen Jalousie” entsprechenden) physikalisch relevanten Lösungen T entstehen erst dann, wenn zusätzlich für jedes \(x\in \Sigma\) der zugehörige ”high frequency set” \(WF_ x(T)\) eine in x zu \(\Sigma\) normale Gerade, d. h. T selbst eine bezüglich \(\Sigma\) ”konormale” Distribution ist. (Als Prototyp solcher konormalen Distributionslösungen der Wellengleichung kann man ihre Sprunglösungen ansehen.) Das Hauptergebnis in diesem Zusammenhang besteht nun darin, daß die zu einer Anfangsverteilung mit kurvenartigem singulären Träger \(\sigma\) gehörige Lösung der Wellengleichung konormal ist bezüglich der sich aus \(\sigma\) entwickelnden charakteristischen Fläche \(\Sigma\), wenn (um noch einmal die Sprache der Mongeschen Theorie zu bemühen) längs \(\sigma\) eine Art ”Streifenbedingung” erfüllt ist. (In der hier besprochenen Arbeit sind die einer solchen ”Streifenbedingung” genügenden Anfangsverteilungen charakterisiert als Restriktionen von konormalen Lösungen.) Die wesentliche Aussage dieses Hauptergebnisses besteht darin, daß sich die Singularitäten einer Lösung nach einem Gesetz fortpflanzen, welches praktisch unabhängig ist vom Verhalten der sie tragenden ”Führungswellen”. Dies ist in der Tat in so hohem Maße der Fall, daß dieselbe Aussage auch noch für gewisse nichtlineare Differentialgleichungen weitreichend bestehen bleibt. [Am eklatantesten kommt dies vielleicht zum Audruck in der jüngst erschienenen Arbeit von J. Rauch und M. C. Reed, ”Nonlinear superposition and absorption of delta waves in one space dimension”, J. Funct. Anal. 73, 152-178 (1987).] In der hier zur Besprechung vorliegenden Arbeit wird nun gezeigt, daß auch die sich auf die ”Reflexion” der Singularitäten an einer starren Wand beziehende Variante des erwähnten Hauptergebnisses im semilinearen Fall bestehen bleibt.
Reviewer: J.Walter

MSC:
35L70 Second-order nonlinear hyperbolic equations
35A20 Analyticity in context of PDEs
35L67 Shocks and singularities for hyperbolic equations
35A27 Microlocal methods and methods of sheaf theory and homological algebra applied to PDEs
35A30 Geometric theory, characteristics, transformations in context of PDEs
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References:
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