×

zbMATH — the first resource for mathematics

La chaîne de Feller \(X_{n+1}=| X_ n-Y_{n+1}|\) et les chaînes associées. (The Feller chain \(X_{n+1}=| X_ n- Y_{n+1}|\) and the associated chains). (French) Zbl 0614.60059
On commence par introduire le modèle général des chaînes de Markov définies par l’action d’une marche aléatoire dans un semi- groupe dénombrable sur un ensemble E (Chapitre 1). Ce modèle est spécialisé ensuite dans les cas où \(E={\mathbb{N}}\) (Chapitre 2), \(E={\mathbb{N}}^{{\mathbb{N}}}\) (Chapitre 3 et 4) avec pour semi-groupe celui qui est engendré, pour la composition des fonctions, par les \(f_ y\) où \(f_ y(x)=| x-y|.\)
Si \(Y_ 1,...,Y_ n,..\). sont des variables aléatoires indépendantes et de même loi ceci permet d’étudier les processus: \[ X_ n(x)=| Y_ n-| Y_{n-1}-|...| Y_ 1- x|...| \] et \[ H_ n(x)=| Y_ 1-| Y_ 2-|...| Y_ n-x|...| \quad. \] On montre en particulier la convergence presque sûre de: \(2^{-1}(H_ n(x)+H_ n(x+1))\) et de \(| X_ n(x)-X_ n(Y)|\).

MSC:
60J10 Markov chains (discrete-time Markov processes on discrete state spaces)
60G50 Sums of independent random variables; random walks
Keywords:
Feller chain
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: Numdam EuDML
References:
[1] H. V . ” Über die Verteilung Kopplungswerte in gerkreuzten Ferumeldekabeln grosser Länge ”. Elektrische Nachrichten Technik , 11 / 12 November/Dezember 1943 , 20 , 251 - 259 . MR 11407
[2] W. Feller . ” An Introduction to Probability Theory and its Applications ” Tome II , Wiley , New-York , 1966 , 208 . MR 210154 | Zbl 0138.10207 · Zbl 0138.10207
[3] F.B. Knight . ” On the Absolute Difference Chains ”. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete , 1978 , 43 , 57 - 63 . MR 493482 | Zbl 0383.60060 · Zbl 0383.60060 · doi:10.1007/BF00535276
[4] G. Letac . ” A contraction Principle for certain Markov chains and its Applications. Random matrices and their applications ”. Contemporary Mathematics , J. Cohen and C. Small editors, A.M.S. Publications , Providence , Rhodes Island. [A paraître]. MR 841098 | Zbl 0587.60057 · Zbl 0587.60057
[5] N. Bourbaki . Livre I. Herman , Paris , 1964 , p. 39 . MR 77883
[6] K. Lai Chung . ” Markov chains with stationary Transition Probabilities ”. 2 ème édition, Springer-Verlâg , Berlin , 1967 . MR 217872 | Zbl 0092.34304 · Zbl 0092.34304
[7] S. Lang . Algebra . Addison-Wesley Publishing Company Inc . 1965 , p. 63 . 3ème tirage 1971 . MR 197234 | Zbl 0193.34701 · Zbl 0193.34701
[8] M.A. Boudiba . ” La chaîne de Feller Xn+1 = |Xn-Yn+1| où les Yn sont i. i. d .” C.R. Académie des Sciences , Paris , t. 301 , 517 - 519 , 1985 . MR 812572 | Zbl 0579.60067 · Zbl 0579.60067
[9] N. Bourbaki . Livre II , chap.l, p. 106 . 2 ème édition, Herman , Paris 1964 . MR 124722 · Zbl 0134.18203
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.