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Niedere Potenzen elliptischer Einheiten. (Small powers of elliptic units). (German) Zbl 0615.12013
Class numbers and fundamental units of algebraic number fields, Proc. Int. Conf., Katata/Jap. 1986, 67-88 (1986).
[For the entire collection see Zbl 0602.00002.]
Die elliptischen Einheiten der komplexen Multiplikation entstehen bekanntlich als singuläre Werte der Funktionen \[ \phi (a_ 1z+a_ 2 | z)=-q^{B_ 2(a_ 1)/2} e^{2\pi ia_ 2(a_ 1-1)/2} (1- Q)\prod^{\infty}_{n=1}(1-q^ n Q)(1-q^ n Q^{-1}) \] mit \(B_ 2(X)=X^ 2-X+1/6\), \(q=e^{2\pi iz}\), \(Q=e^{2\pi i(a_ 1z+a_ 2)}\); \(a_ 1,a_ 2\in {\mathbb{Q}}.\)
Seien dazu \({\mathfrak f}\) und \({\mathfrak c}\) ganze Ideale eines imaginär- quadratischen Zahlkörpers \(\Sigma\) und \({\mathfrak c}\) prim zu 6N(\({\mathfrak f})\), wobei N(.) die Idealnorm in \(\Sigma\) bedeutet. Man zerlege \({\mathfrak c}\) und \({\mathfrak f}\) in ihre rationalen und primitiven Bestandteile \[ {\mathfrak f}=f_ 1 {\mathfrak f}_ 2,\quad f_ 1>0,\quad f_ 2:=N({\mathfrak f}_ 2),\quad {\mathfrak c}=c_ 1 {\mathfrak c}_ 2,\quad c_ 1>0,\quad c_ 2:=N({\mathfrak c}_ 2) \] und wähle \(\alpha\in \Sigma\), \(Im(\alpha)>0\) mit \[ {\mathfrak f}_ 2={\mathbb{Z}} f_ 2+{\mathbb{Z}} \alpha,\quad {\mathfrak c}_ 2={\mathbb{Z}} c_ 2+{\mathbb{Z}} \alpha \quad. \] Dann ist die nur von der Strahlklasse C von \({\mathfrak c}\) modulo \({\mathfrak f}\) abhängige elliptische Einheit gegeben durch \[ (1)\quad \Phi_{{\mathfrak f}}(C)=\phi (c_ 1/(f_ 1 f_ 2) | \alpha /(f_ 2 c_ 2))^{12f_ 1 f_ 2}\quad, \] und diese Zahl liegt bekanntlich im Strahlklassenkörper \(K_{{\mathfrak f}}\) modulo \({\mathfrak f}\) über \(\Sigma\).
Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die Untersuchung der \(12f_ 1f_ 2\)-ten Wurzeln aus diesen Zahlen, was sowohl für theoretische Klassenzahluntersuchungen als auch für numerische Klassenzahlberechnungen von Interesse ist. Das Hauptergebnis ist neben dem Nachweis von \[ \phi (c_ 1/(f_ 1 f_ 2) | \alpha /(f_ 2 c_ 2))\quad \in \quad K_{12f^ 2_ 1 f^ 2_ 2} \] die explizite Berechnung der Aktion der Galoisgruppe von \(K_{12f^ 2_ 1 f^ 2_ 2} / K_{{\mathfrak f}}\) auf diesen Wurzeln. Hieraus ergibt sich dann ein hinreichendes und notwendiges Kriterium dafür, daß ein Potenzprodukt von elliptischen Einheiten der Form (1) schon eine \(12f_ 1f_ 2\)-te Potenz einer Einheit in \(K_{{\mathfrak f}}\) ist.
Eine überarbeitete Fassung dieser Arbeit wird demnächst veröffentlicht.

MSC:
11R37 Class field theory
11G15 Complex multiplication and moduli of abelian varieties
11R23 Iwasawa theory