×

zbMATH — the first resource for mathematics

Generic mixing transformations are rank 1. (English. Russian original) Zbl 1312.37006
Math. Notes 93, No. 2, 209-216 (2013); translation from Mat. Zametki 93, No. 2, 163-171 (2013).
Let \((X,\mathcal{B},\mu)\) be a non-atomic Lebesgue space. By the classical Rhoklin theorem, \((X,\mathcal{B},\mu)\) is isomorphic to \(([0,1],\mathcal{B}([0,1]),\lambda)\) where \(\mathcal{B}([0,1])\) is the Borel algebra and \(\lambda\) is the Lebesgue measure.
Let us denote by \(\mathfrak{T}\) the space of all invertible measure-preserving transformations acting on \((X,\mathcal{B},\mu)\). A map \(T\) is in \(\mathfrak{T}\) if and only if \(\mu(T^{-1}A)=\mu(A)\), for every \(A \in \mathcal{B}\). We denote by \(\mathfrak{M}\) the sublass of mixing transformations. A map \(T\) is in \(\mathfrak{M}\) if and only if \(\displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty}\mu(T^nA \cap B)=\mu(A)\mu(B).\) The weak topology on \(\mathfrak{T}\) is generated by each of the following metrics \[ d(T,S)=\sum_{i \in \mathbb{N}} \frac1{2^i}\Big(\mu(TA_i \Delta SA_i)+\mu(T^{-1}A_i \Delta S^{-1}A_i)\Big), \] \[ a(T,S)=\sum_{i,j \in \mathbb{N}}\frac1{2^{i+j}}\Big|\mu(TA_i \Delta A_j)-\mu(SA_i \Delta A_j)\Big|, \] where \((A_i)\) is a countable collection of Borel sets generating the \(\sigma\)-algebra \(\Sigma\). The space \(\mathfrak{M}\) equipped with those metrics is not complete. To make it a complete metric space, S. V. Tikhonov [Math. Notes 95, No. 2, 253–266 (2014); translation from Mat. Zametki 95, No. 2, 282–299 (2014; Zbl 1370.37004)] introduced the following metric \[ \tau(T,S)=d(T,S)+\sup_{n \in \mathbb{N}}a(T^n,S^n). \] The corresponding topology is called the leash topology.
In this paper the author proves that the conjugacy class of any mixing map \(S\) is dense in \(\mathfrak{M}\). We remind that the conjugacy class of \(S\) is given by \[ c(S)=\Big\{T,\quad T=R^{-1}SR,\, \text{for some } R \in \mathfrak{T}\Big\}. \] As a consequence, the author obtains that the mixing rank-one maps are dense in \(\mathfrak{M}\).

MSC:
37A25 Ergodicity, mixing, rates of mixing
28D05 Measure-preserving transformations
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI
References:
[1] С. В. Тихонов, “Полная метрика на множестве перемешивающих преобразований”, УМН, 62:1 (2007), 209 – 210 · Zbl 1175.37012 · doi:10.1070/RM2007v062n01ABEH004392 · mi.mathnet.ru · adsabs.harvard.edu
[2] С. В. Тихонов, “Полная метрика на множестве перемешивающих преобразований”, Матем. сб., 198:4 (2007), 135 – 158 · Zbl 1140.37005 · doi:10.1070/SM2007v198n04ABEH003850 · mi.mathnet.ru
[3] А. И. Баштанов, “Свойство почти независимости образов для эргодических преобразований без частичной жесткости”, Дифференциальные уравнения и топология. II, Сборник статей. К 100-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Тр. МИАН, 271, МАИК, М., 2010, 29 – 39 · mi.mathnet.ru
[4] В. В. Рыжиков, “Попарная \(\varepsilon\)-независимость множеств \(T^iA\) для перемешивающего преобразования \(T\)”, Функц. анализ и его прил., 43:2 (2009), 88 – 91 · doi:10.4213/faa2935 · mi.mathnet.ru
[5] С. В. Тихонов, “Перемешивающие преобразования с однородным спектром”, Матем. сб., 202:8 (2011), 139 – 160 · doi:10.4213/sm7749 · mi.mathnet.ru
[6] D. S. Ornstein, “On the root problem in ergodic theory”, Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. Vol. II. Probability theory, Univ. California Press, Berkeley, CA, 1972, 347 – 356 · Zbl 0262.28009
[7] В. В. Рыжиков, “Перемешивание, ранг и минимальное самоприсоединение действий с инвариантной мерой”, Матем. сб., 183:3 (1992), 133 – 160 · Zbl 0782.28009|0768.28008 · mi.mathnet.ru · adsabs.harvard.edu
[8] J. L. King, “Joinings-rank and the structure of finite rank mixing transformation”, J. Analyse Math., 51 (1988), 182 – 227 · Zbl 0665.28010 · doi:10.1007/BF02791123
[9] S. A. Kalikow, “Twofold mixing implies threefold mixing for rank one transformations”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 4:2 (1984), 237 – 259 · Zbl 0552.28016 · doi:10.1017/S014338570000242X
[10] А. М. Степин, A. М. Еременко, “Неединственность включения в поток и обширность централизатора для типичного сохраняющего меру преобразования”, Матем. сб., 195:12 (2004), 95 – 108 · Zbl 1082.37006 · doi:10.1070/SM2004v195n12ABEH000867 · mi.mathnet.ru
[11] J. L. F. King, “The generic transformation has roots of all orders”, Colloq. Math., 84-85, Part 2 (2000), 521 – 547 · Zbl 0972.37001 · eudml:210831
[12] О. Н. Агеев, “О типичности некоторых неасимптотических динамических свойств”, УМН, 58:1 (2003), 177 – 178 · Zbl 1069.37001 · doi:10.1070/RM2003v058n01ABEH000596 · mi.mathnet.ru · adsabs.harvard.edu
[13] T. de la Rue, J. de Sam Lazaro, “Une transformation geńeŕique peut e\Hat tre inseŕeé dans un flot”, Ann. Inst. H. PoincareṔrobab. Statist., 39:1 (2003), 121 – 134 · Zbl 1082.37007 · doi:10.1016/S0246-0203(02)00012-2 · numdam:AIHPB_2003__39_1_121_0 · eudml:77753
[14] О. Н. Агеев, “Типичный автоморфизм пространства Лебега сопряжен с \(G\)-расширением для любой конечной абелевой группы \(G\)”, ДАН, 374:4 (2000), 439 – 442 · Zbl 1044.37003 · mi.mathnet.ru
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.