×

Zur Existenz eines Ordnungsverhältnisses auf der affinen Ebene. (On the existence of a ratio of ordering on the affine plane). (German) Zbl 0616.51010

In der affinen Ebene \({\mathcal A}=({\mathcal P},{\mathcal L},\in)\) sei \({\mathcal T}\) die Menge aller geordneten Tripel kollinearer Punkte 0, A, B mit \(0\neq A\), B. Ein Ordnungsverhältnis aus \({\mathcal A}\) in bezug auf ein Gruppoid \({\mathcal G}\) ist eine Abbildung \(\tau\) von \({\mathcal T}\) in \({\mathcal G}\) mit den folgenden Bedingungen: (T1) Für je vier kollineare Punkte 0, A, B, C mit \(0\neq A\), B, C gilt \(\tau (0,A,B)\tau (0,B,C)=\tau (0,A,C)\). - (T2) Gehen drei kollineare Punkte 0, A, B, mit \(0\neq A\), B durch eine Parallelprojektion in Punkte 0’, A’, B’ über, so gilt \(\tau (0,A,B)=\tau (0',A',B').\)
In dieser Arbeit findet der Autor notwendige and hinreichende Bedingungen für die Existenz eines Ordnungsverhältnisses auf der affinen Ebene \({\mathcal A}\). Es wird bewiesen, daß ein Ordnungsverhältnis \(\tau\) : \({\mathcal T}\to {\mathcal G}\) auf \({\mathcal A}\) auf jeder Menge \(p\setminus \{P\}\) mit \(P\in p\), \(p\in {\mathcal L}\), eine Äquivalenzrelation \(\rho\) (p,P) induziert durch die Vorschrift \(X\sim Y:\Leftrightarrow \tau (P,X,Y)=1\), X,Y\(\in p\setminus \{P\}\), wobei alle \(\rho\) (p,P) fünf Axiome, (P1) bis (P5), erfüllen. Die umgekehrte Angabe wird auch bewiesen.
Reviewer: S.Gigena

MSC:

51G05 Ordered geometries (ordered incidence structures, etc.)
51A05 General theory of linear incidence geometry and projective geometries
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: EuDML

References:

[1] Junkers W.: Eine Kennzeichnung der desarguesschen affinen Räume durch kennzeichende Eigenschafîen des affinen Teilverhältnisses. Arch. der Math. 21, (1970), 299-303. · Zbl 0201.23001
[2] Junkers W.: Über normale Inhaltsfunktionen auf affinen Ebenen. Beiträge zur Geometrischen Algebra. Birkhäuser Verlag Basel und Stuttgart, 1977, 167-178. · Zbl 0374.50009
[3] Lingenberg R.: Grundlagen der Geometrie I. Mannheim 1969. · Zbl 0183.24901
[4] Machala F.: Über Ordnungsverhältnisse auf affinen Ebenen. Čas. pro p\?st. matem. 108 (1983), 191-198. · Zbl 0527.51003
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.