On embedding of homeomorphisms of the circle in a continuous flow. (English) Zbl 0616.54037

Zdun, Marek Cezary

Iteration theory and its functional equations, Proc. Int. Symp., Schloß Hofen (Lochau)/Austria 1984, Lect. Notes Math. 1163, 218-231 (1985).

[For the entire collection see Zbl 0587.00008.]
Es werden notwendige und hinreichende Ergebnisse dafür angegeben, daß ein Homöomorphismus T der Kreislinie \(S^ 1\) auf sich in einen stetigen Fluß eingebettet werden kann, d.h. daß ein Homomorphismus \(t\mapsto F^ t\) von \({\mathbb{R}}\) in die Gruppe der Homöomorphismen von \(S^ 1\) mit \(T^ 1=T\) existiert, bei dem die Abbildungen \(t\mapsto T^ t(x)\) für jedes \(x\in S^ 1\) stetig sind.
Nach Theorem 3 ist dies genau dann der Fall, wenn T eine nichtleere Fixpunktmenge hat oder periodisch oder minimal ist (wobei die Minimalität bedeutet, daß die Bahn eines jeden Punkts unter den Iterierten von T dicht ist). Überdies werden für die genannten verschiedenen Fälle alle stetigen Flüsse zu T explizit bestimmt, zum Teil mit Hilfe von Funktionalgleichungen.
{Anmerkung des Referenten: Gelegentlich würde man sich wünschen, daß die Argumentation die Theorie der (topologischen) Transformationsgruppen mehr benutzt. Z.B. wird in Theorem 2 der wohlbekannte Sachverhalt gezeigt, daß ein stetiger Fluß, für den \(T^ 1\) keine Fixpunkte hat, äquivalent zu einer Einparametergruppe von Drehungen ist. Dies läßt sich leicht so einsehen: Die zugehörige Wirkung von \({\mathbb{R}}\) als Transformationsgruppe auf \(S^ 1\) ist natürlich transitiv, und der Stabilisator von \(x\in S^ 1\) ist nichttrivial und also eine zyklische Untergruppe Z von \({\mathbb{R}}\). Die natürliche Abbildung \({\mathbb{R}}/Z\to S^ 1\) ist äquivalent bezüglich der naheliegenden Wirkung auf \({\mathbb{R}}/Z\); daraus folgt alles.}

Reviewer: H.Hähl

MSC:

54H20	Topological dynamics (MSC2010)
26A18	Iteration of real functions in one variable
57S25	Groups acting on specific manifolds
54H15	Transformation groups and semigroups (topological aspects)
39B12	Iteration theory, iterative and composite equations
39B99	Functional equations and inequalities

Keywords:

one-parameter subgroups of the homeomorphism group of the circle

Citations:

Zbl 0587.00008