On a nonlinear differential game of evasion with constraints. (English) Zbl 0616.90109

Medveď, Milan

Kybernetika 23, 19-31 (1987).

An evasion strategy in Pontryagin’s sense for a nonlinear differential game with constraints is constructed. The motion of the controlled objects is described by the system \(\dot x=A(x,y)+B(x,y,u,v)\) and \(\dot y=\beta y+g(x,y,u,w,v)+f(u,v)\), where \(x\in R^ n\), \(y\in R^ m\), \(\beta >0\), \(u\in U\subset R^ p\) is the control parameter of the pursuer, \((w,v)\in W\times V\subset R^ q\times R^ r\) is the control parameter of the evader, U, V, W are compact sets. The constraints are given by the linear inequalities: \((q_ k,y)\geq 0\), \(k=1,2,...,s\), where (.,.) is the scalar product and \(q_ k\in R^ m\) are given constant vectors. It is proven that under some conditions there is a map \(F(u,z)=(w(u,z)\), v(u,z)) with values in \(W\times V\) such that for any measurable function \(u=u(t)\in U\) and any initial value \(z_ 0=(x_ 0,y_ 0)\) the solution (x(t),y(t)) of the system with \(u=u(t)\), \(w=w(u(t),z_ 0)\), \(v=w(u(t),z_ 0)\) starting at \(z_ 0\) has the properties: \((q_ k,y(t))\geq 0\), \(k=1,2,...,s\), (x(t),y(t))\(\not\in M\) for all \(t\in [0,\infty)\), where M is a given linear subspace of the state space \(R^{n+m}\) and codim \(M\geq 2\).

MSC:

91A24	Positional games (pursuit and evasion, etc.)
91A23	Differential games (aspects of game theory)
91A99	Game theory

Keywords:

strategy of evasion; nonlinear differential game with constraints

References:

[1]	А. Я. Азимов: Лимейная диффепенциальная угра ыбегния с интегральхымо ограхичехиями на упрабленуе. Диффепенциальнае ыпабнеиня 11 (1975),10 1723-1731. · Zbl 1170.01354
[2]	Е. А. Барбашин: Ваеденуе в теорию уцтойчивости. Hauka, Москва 1967. · Zbl 1103.35360
[3]	А. Ф. Филиппов: некотопых вопросах теории оптимальхого регулирования. Вестник Московского университета (1959), 2 25-32. · Zbl 1047.90504
[4]	R. V. Gamkrelidze, G. L. Kharatishvili: A differential game of evasion with nonlinear control. SIAM J. Control 12 (1974), 332-349. · Zbl 0308.90065
[5]	B. Kaśkosz: On a nonlinear evasion problem. SIAM J. Control 15 (1977), 661-673.
[6]	B. Kaśkosz: A sufficient condition for evasion in nonlinear game, Part I. Control Cybernet, 7 (1978), 5-15.
[7]	B. Kaśkosz: A sufficient condition for evasion in a nonlinear game, Part II. Control Cybernet, 7 (1978), 39-50.
[8]	Н. Н. Красовский А. И. Субботив: Позиционные диффепенциальные угри. Hauka, Москва 1974. · Zbl 1235.49003
[9]	M. Medved’: On a differential game of evasion described by a class of nonlinear integrodifferential equations. Czechosl. Math. J. 3 (1978), 407-418. · Zbl 0402.90111
[10]	M. Medved’: On a nonlinear evasion problem described by a system of integrodifferential equations. Optimization Techniques, Proccesdings of the 9th IFIP Conference on Optimization Techniques, Warsaw 1979, Springer-Verlag 1980, 232-240.
[11]	M. Medved’: On a problem of evasion. Kybernetika 13 (1977), 1, 57-62.
[12]	Е. Ф. Мищенко М. С. Никольский И. Сатимов: Задача уклонения от всречи в дифференциальных играх многих лиц. Труды Математического института АН СССР, t. 143 (1977), 105-128. · Zbl 1236.41006
[13]	Е. Ф. Мищенко Н. Сатимов: Задача об уклонении от встечи в дифференциальных уграх с нелинейными управлениями. Дифференциальные уравнения 9 (1973), 10, 1792-1797. · Zbl 1221.53041
[14]	Е. Ф. Мищенко Н. Сатимов: Задача уклонения от встречи в дифференциальных играх многих лиц. ДАН СССР 221 (1975), 2, 285-288. · Zbl 1231.90252
[15]	М. С. Никольский: О квазилинейной задаче убегания. ДАН СССР 218 (1974), 5,1024-1027. · Zbl 1170.01350
[16]	М. С. Никольский: О квазилинейной задаче убегания. Дан СССР 221 (1975), 3, 539-542. · Zbl 1170.01354
[17]	Л. С. Понтрягин: Дифференциальнаяа игра преследования. Труды Математического Института им. В. А. Стеклова, t. 112 (1971), 30-63. · Zbl 1170.92344
[18]	L. S. Pontryagin: On the evasion process in differential games. Appl. Math. and Optimization 1 (1974), 5-19. · Zbl 0296.90057
[19]	Л. С. Понтрягин Е. Ф. Мищенко: Задача об уклонении от встречи в линейных дифференциальных играх. Дифференциальные уравнения 7 (1971), 436-445. · Zbl 1236.82017
[20]	В. Н. Пшеничный: О задаче убегания. Кибернетика (1975), 4, 120-127. · Zbl 1170.01354