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Nonlinear elliptic boundary value problems. Transl. from the Russian by Jiri Jarnik. (English) Zbl 0617.35001
Teubner-Texte zur Mathematik, Bd. 91. Leipzig: BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft. 232 p. M 24.00 (1986).
Der Autor ist bekannt als einer der führenden Forscher auf dem Gebiet des topologischen Abbildungsgrades für Operatoren vom monotonen Typ, welches seine Hauptanwendungen in Lösbarkeitssätzen für nichtlineare elliptische Randwertprobleme höherer Ordnung gefunden hat. Seit G. J. Mintys Arbeiten [z.B. Duke Math. J. 29, 341-346 (1962; Zbl 0111.312)] sind immer allgemeinere Klassen monotoner Abbildungen untersucht worden, die man etwa im 2. Band von E. Zeidlers Monographie findet [Vorlesungen über Nichtlineare Funktionalanalysis II: Monotone Operatoren (1977; Zbl 0481.47041)].
Es ist der Verdienst des Autors, viele über die Literatur verstreute Arbeiten insbesondere zur Anwendung monotoner Operatoren auf nichtlineare elliptische Probleme in geschlossener Form dargestellt zu haben. (Die einzige Lücke im Literaturverzeichnis ist nach Kenntnis des Rezensenten eine neuere Arbeit von J. Berkovits und V. Mustonen [Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. 10, 1373-1383 (1986; Zbl 0605.47060)], in der der topologische Abbildungsgrad für monotone Operatoren ohne den sonst üblichen Rückgriff auf endlichdimensionale Operatoren (über Galjorkin-Approximationen) eingeführt wird.)
Die behandelten Gebiete lassen sich am besten durch Aufzählung der Kapitelüberschriften vermitteln: Der Abbildungsgrad für verallgemeinert monotone Operatoren; topologische Charakteristiken nichtlinearer elliptischer Randwertprobleme; Lösbarkeit und Verhalten von Lösungen nichtlinearer elliptischer Randwertprobleme; Lösbarkeit des nichtlinearen Dirichletproblems in einem schmalen Streifen; Randverhalten von Lösungen quasilinearer elliptischer Gleichungen; nichtlineare elliptische Probleme in ”gelochten” Gebieten.
Das Buch wird einen gebührenden Platz in der inzwischen recht umfangreichen Lehrbuchliteratur über Nichtlineare Analysis einnehmen. Sein günstiger Preis ist ein weiteres Plus, das angesichts der meisten überteuerten ”westlichen” Bücher nicht unterschätzt werden sollte.
Reviewer: J.Appell

MSC:
35-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to partial differential equations
35J65 Nonlinear boundary value problems for linear elliptic equations
55M25 Degree, winding number
47H05 Monotone operators and generalizations
35J60 Nonlinear elliptic equations