Dimension des zéros d’une solution faible d’un opérateur elliptique. (Dimension of zeros of a weak solution of an elliptic operator). (French) Zbl 0619.35032

Robbiano, Luc

J. Math. Pures Appl., IX. Sér. 67, No. 4, 339-357 (1988).

Nous démontrons le résultat suivant: Soit \(u\in H^ 1(\Omega)\), \(u\not\equiv 0\) vérifiant \(| Au| \leq c(| u| +| \nabla u|)\) presque partout, où A est un opérateur elliptique d’ordre 2 à coefficients lipschitziens. Alors l’ensemble sur lequel u s’annule est de mesure nulle. En fait, on démontre un résultat plus précis (en termes de dimension de Hausdorff) en définissant un représentant judicieux de u.
Ce résultat repose sur une décomposition de u en une somme d’un polynôme homogène de degré n et d’une fonction \(\Gamma\) qui s’annule (en termes de normes \(L^ 2)\) à un ordre plus grand que n.

MSC:

35J20	Variational methods for second-order elliptic equations
35B05	Oscillation, zeros of solutions, mean value theorems, etc. in context of PDEs

Keywords:

Lipschitz coefficients; weak solution; zero set