Two-parametric motions in \(E_ 3\). (English) Zbl 0621.53010

Karger, Adolf

Apl. Mat. 32, 96-119 (1987).

Gestützt auf die Theorie der Lie’schen Gruppen und der zugehörigen Lie’schen Algebren werden als Einführung lokale und globale Eigenschaften mehrdimensionaler Bewegungen in Vektorräumen und p- parametrige Bewegungen im n-dimensionalen euklidischen Raum \(E_ n\) betrachtet. Anschließend erfolgt eine Untersuchung und Klassifikation der 2-parametrigen Bewegungen im \(E_ 3\) vom Rang 2 einschließlich singulärer Fälle. Da mit jeder Raumbewegung eine sphärische Bewegung verknüpft ist, behandelt Verf. in diesem Zusammenhang die elliptische Flächentheorie. Auf die klassischen Ergebnisse über 2- parametrige Bewegungen vom Rang 2, die meist aus dem 19. Jahrhundert stammen, wird kurz eingegangen.
Besonderes Augenmerk wird auf spezielle Bewegungen gerichtet: a) Aufspaltung der flächenläufigen Bewegung in zwei voneinander unabhängige Zwanglaufbewegungen (1-parametrige Bewegungen). b) Bewegungen mit einer 2-dimensionalen Gruppe von Automorphismen. (Solche Bewegungen spalten sich in zwei einparametrige Bewegungen auf und besitzen Clifford’sche Quadriken als sphärische Bilder.) c) Die flächenläufige Bewegung entsteht durch das Abrollen zweier isometrischer Flächen, die als Polarflächen der Bewegung fungieren. Diese Flächen dürfen weder identisch, noch zwei sich längs einer Erzeugenden berührende Regelflächen sein. d) 2-parametrige Bewegungen mit wenigstens zwei Kurven als Punktbahnen. Die Bewegung spaltet sich in zwei einparametrige Bewegungen, deren eine eine Rotation ist; die Punkte der Rotationsachse beschreiben Bahnkurven. e) Die flächenläufige Bewegung entsteht durch das Rollen zweier Kurven.

Reviewer: H.R.Müller

MSC:

53A17

Differential geometric aspects in kinematics

Keywords:

kinematics; two-parametric motions; rolling of two isometric surfaces

References:

[1]	W. Blaschke: Nicht-Euklidische Geometrie und Mechanik. Hamb. Math. Einzelschriften 34. Heft) · Zbl 0027.13304
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[4]	O. Kowalski: Orbits of transformation groups on certain Grasmann manifiolds. Czech. Math. Journ. 18 (93) (1968), 144-177 and 240-273. · Zbl 0179.26801
[5]	H. R. Müller: Sphärische Kinematik. Berlin 1962. · Zbl 0101.39201
[6]	A. Schoenflies M. Grübler: Kinematik. Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften, Band 4 (I), Heft 2, 3, Leipzig 1902. · JFM 33.0719.10