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Deux cours d’analyse harmonique. École d’Été d’Analyse Harmonique de Tunis, 1984. (French) Zbl 0622.43001
Progress in Mathematics, Vol. 69. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser. VIII, 293 p.; DM 80.00 (1987).
Bei den vorliegenden Texten handelt es sich um Niederschriften von Kursvorlesungen, die die Autoren im Rahmen der École d’Été d’Analyse Harmonique de Tunis 1984 abgehalten haben.
J. Faraut, Analyse harmonique et fonctions speciales:
Das Kapitel I bringt eine sehr schöne Einführung in die Theorie der Kugelflächenfunktionen und zeigt deren Beziehungen zu den ultrasphärischen Polynomen auf. Das Kapitel II behandelt die Hankel- Transformation und ihre Beziehungen zur Bessel-Funktion. Es werden die Hecke-Identitäten sowie das Bochner-Hecke-Theorem bewiesen und die Fourier-Transformierten der Riesz-Distributionen berechnet. In Kapitel III werden einige spezielle Funktionen untersucht, die mit der Lorentz- Gruppe verknüpft sind, und zwar die Legendre-Funktionen sowie die MacDonald-Funktionen. Die Meijer-Transformation läßt sich mittels der MacDonald-Funktion in ähnlicher Weise beschreiben wie die Hankel- Transformation mittels der Bessel-Funktion. Man erhält auch eine Analogie zu den Hecke-Identitäten.
In Kapitel IV werden die von Neumannsche und die Bargmannsche Realisierung der irreduziblen Darstellungen der Heisenberg-Gruppe vorgestellt und deren Verkettungsoperatoren bestimmt. In diesem Zusammenhang sind die Hermite-Polynome und die Hermite-Weber-Funktionen von Bedeutung.
Auf der Heisenberg-Gruppe \(H_ n\hat={\mathbb{C}}^ n\times {\mathbb{R}}\) wirkt in natürlicher Weise die Gruppe U(n). Der Sub-Laplace-Operator \(\Delta_ 0\) auf \(H_ n\) ist invariant unter der Wirkung von U(n); er spielt somit für die Heisenberg-Gruppe eine ähnliche Rolle wie der unter der Wirkung der Drehgruppe invariante Laplace-Operator \(\Delta\) für den Euklidischen Raum.
Hinsichtlich der natürlichen Wirkung von U(n) auf \(H_ n\) kann man das semidirekte Produkt \(G=H_ n\ltimes U(n)\) bilden. (G,U(n)) ist ein Gel’fand-Paar. Das Kapitel V befaßt sich nun mit der Analysis dieses Gel’fand-Paares. Die biinvarianten Funktionen des Gel’fand-Paares (G,U(n)) entsprechen dabei den U(n)-invarianten Funktionen auf \(H_ n\). Es werden die beschränkten sphärischen Funktionen angegeben. (Deren Bestimmung geht auf Koranyi zurück.) Diese Funktionen lassen sich durch die Laguerre-Funktionen bzw. durch die Bessel-Funktion ausdrücken.
In Kapitel VI wird eine Fundamentallösung des Sub-Laplace-Operators \(\Delta_ 0\) auf \(H_ n\) angegeben (nach Folland). Dabei spielen die U(n)-invarianten Funktionen auf \(H_ n\) eine ähnliche Rolle wie die rotationsinvarianten Funktionen im Euklidischen Fall. Ebenfalls in Analogie zum Euklidischen Fall wird das Cauchy-Problem für die Wärmeleitungsgleichung auf \(H_ n\) behandelt (nach Gaveau ([21])). Dabei ist die Euklidische Fourier-Transformierte durch die in Kapitel V beschriebene sphärische Fourier-Transformierte zu ersetzen.
Das Kapitel VII geht zurück auf eine Arbeit von Hulanicki und Ricci. Zunächst wird ein Satz über tangentiale Konvergenz für beschränkte harmonische Funktionen auf dem hyperbolischen Raum \(SO_ 0(1,n+1)/SO(n+1)\) bewiesen unter Verwendung des Theorems von Wiener. Dann werden die Methoden übertragen auf den hyperbolischen Raum \(SU(1,n+1)/U(n+1)\). Hier kommt die Heisenberg-Gruppe ins Spiel, und das Theorem von Wiener muß für die Algebra \(L^ 1(H_ n)^{U(n)}\) der U(n)-invarianten \(L^ 1\)-Funktionen auf \(H_ n\) bewiesen werden, was mittels des Dixmierschen Funktionalkalküls geschieht.
In Kapitel VIII wird die Kelvin-Transformation K auf der Heisenberg- Gruppe behandelt (nach Koranyi). In der Euklidischen Situation wird die Formel \[ \Delta Kf(x)=\| x\|^{-4}\quad (K \Delta f)(x) \] mit Hilfe von Verkettungsoperatoren von Darstellungen der Lorentz-Gruppe \(G=SO_ 0(1,n+1)\) bewiesen. (Aus der Formel folgt, daß K harmonische Funktionen in harmonische Funktionen transformiert.) Eine Modifikation dieses Beweises liefert die entsprechende Formel \[ \Delta_ 0Kf(z,w)=(\| z\|^ 4+4w^ 2)^{-1}\quad K \Delta_ 0f(z,w) \] für die Kelvin-Transformation K auf der Heisenberg-Gruppe \(H_ n\). Die Lorentz-Gruppe ist hier durch die Gruppe \(G=SU(1,n+1)\) zu ersetzen.
Abschließend werden die harmonischen homogenen Polynome auf der Heisenberg-Gruppe bestimmt. Dabei treten die von Greiner definierten verallgemeinerten Gegenbauer-Polynome auf.
K. Harzallah, Distributions invariantes: Une introduction: Gegeben sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M, auf der eine Liegruppe G operiert. Es werden die G-invarianten Distributionen auf M studiert.
In Kapitel I werden einige fundamentale Tatsachen über invariante Distributionen aufgeführt: Die invarianten Distributionen werden als Lösungsmenge eines Systems von Differentialgleichungen charakterisiert. Es werden die unter einer Untergruppe H von G invarianten Distributionen auf G beschrieben. Ferner wird - in einem ersten Beweis mit Hilfe des Schwartzschen Kern-Theorems, in einem zweiten Beweis mit Hilfe des Faktorisierungssatzes von Dixmier-Malliavin - gezeigt, daß die invarianten Bilinearformen B auf \({\mathcal D}(G)\times {\mathcal D}(G)\) von der Form \[ B(\phi,\psi)=<T,\quad \psi^**\phi > \] sind mit \(T\in {\mathcal D}'(G)\). Es werden auch die relativ zentralen Distributionen auf der \(ax+b\)-Gruppe bestimmt.
Das Kapitel II behandelt die unter einer kompakten Gruppe K invarianten Distributionen. Die K-invarianten Distributionen werden charakterisiert mit Hilfe der Mittelungsabbildung \[ f \mapsto GMf\quad,\quad Mf(x)=\int_{K}f(k\cdot x) dk\quad, \] welche den Raum \({\mathcal D}(M)\) der Testfunktionen auf den Raum \({\mathcal D}_{inv}(M)\) der K-invarianten Testfunktionen abbildet. Die K-invarianten Distributionen können nun identifiziert werden mit dem Dualraum von \({\mathcal D}_{inv}(M)\). Es werden einige Beispiele für Untergruppen K der orthogonalen Gruppe O(m) besprochen (nach der Thèse von Raïs). Dabei spielen die Theoreme von Whitney und Glaeser eine entscheidende Rolle.
In Kapitel III werden in Anlehnung an Varadarajan einige von Harish- Chandra stammende Hilfsmittel vorgestellt, welche der Beschreibung von Distributionen dienen, die unter nichtkompakten Gruppen invariant sind. Diese Hilfsmittel werden in den späteren Kapiteln verwendet. Studiert wird das Transformationsverhalten von Distributionen unter Submersionen, welche mit den Gruppenwirkungen verträglich sind.
Das Kapitel IV behandelt die O(p,q)-invarianten sowie die \(SO_ 0(p,q)\)- invarianten Distributionen auf \({\mathbb{R}}^ n\). Beschreibungen dieser Distributionen wurden gegeben von Methée, de Rham, Gårding, Tengstrand, Gel’fand und Shilov, Schiffmann und Rallis, sowie von Faraut. Ein wesentliches Problem bei der Beschreibung dieser Distributionen besteht darin, die Mittelungsabbildung f \(\mapsto Mf\), deren Definition für Testfunktionen mit regulärem Träger (z. B. im Falle \(G=O(p,q)\) für \(f\in {\mathcal D}({\mathbb{R}}^ n\setminus \{0\}))\) unproblematisch ist, auf ganz \({\mathcal D}({\mathbb{R}}^ n)\) fortzusetzen und den Bildraum \({\mathcal H}\) zu bestimmen. Die O(p,q)-invarianten Distributionen lassen sich nun identifizieren mit dem Dualraum \({\mathcal H}'\) von \({\mathcal H}\). Zur Beschreibung der \(SO_ 0(p,q)\)-invarianten Distributionen muß man die Distributionen auf \(\Gamma:=\{x\in {\mathbb{R}}^ n|\) Q(x)\(\geq 0\}\), wobei Q die quadratische Form der Signatur (p,q) ist, noch gesondert studieren und erhält eine Charakterisierung durch \({\mathcal H}'\) und \({\mathcal D}'([0,\infty [).\)
In Kapitel V werden die konischen Distributionen auf dem Lichtkegel \(\Xi\) behandelt. Der Stabilisator P in O(p,q) einer isotropen Geraden \(\Xi_ 0\) in \(\Xi\) zerfällt in der Form \(P=MAN\) mit \(M\cong O(p-1,q-1)\), \(A\cong {\mathbb{R}}\setminus \{0\}\) und \(N\cong {\mathbb{R}}^{n-2}\). Die konischen Distributionen auf \(\Xi\) sind die MN-invarianten Distributionen auf \(\Xi\), die noch bestimmte Homogenitätsbedingungen erfüllen. (Konische Distributionen wurden in unterschiedlichen Kontexten studiert von Helgason, Hu Men-Chang, Faraut, Strasburger und dem Autor.) Es werden zunächst mit ähnlichen Methoden wie in Kapitel IV die MN-invarianten Distributionen auf \(\Xi\) beschrieben und daraufhin - unter Berücksichtigung der Homogenitätsbedingungen - die konischen Distributionen.
Das Kapitel VI resümiert die Arbeiten von Herz und Barrà über den Zusammenhang zwischen Divergenzfunktionen und invarianten Distributionen. Die Divergenzfunktionen auf einer Mannigfaltigkeit M, auf der eine Liegruppe G operiert, sind die Funktionen der Form \(\sum \tilde X_ jg_ j\) mit \(g_ j\in {\mathcal D}(M)\) und Vektorfeldern \(\tilde X_ j\) auf M, definiert durch \[ \tilde X_ j f(m):=\frac{d}{dt}f(Exp(-tX_ j)\cdot m)|_{t=0}\quad, \] wobei die \(X_ j\) Elemente der Liealgebra von G sind. Unter gewissen Voraussetzungen werden Sätze von folgendem Typ bewiesen: f ist genau dann eine Divergenzfunktion, wenn f von den invarianten Maßen auf den G-Bahnen annuliert wird.
In Kapitel VII werden Arbeiten von Rothschild-Wolf, Dixmier und dem Referenten besprochen zu der Frage, inwieweit bei der Wirkung einer Gruppe G unipotenter Endomorphismen auf einem endlichdimensionalen Vektorraum die invarianten Maße auf den G-Bahnen den Raum aller invarianten Distributionen erzeugen. Diese Frage hängt mittels der Kirillovschen Charakterformel eng zusammen mit dem Problem, inwieweit auf nilpotenten Liegruppen die Charaktere irreduzibler Darstellungen den Raum aller zentralen Distributionen erzeugen.
In einem Anhang wird das Theorem von Blanc und Wigner bewiesen. Zum Beweis werden Hilfsmittel aus Kapitel VI verwendet.
Reviewer: R.Felix

MSC:
43-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to abstract harmonic analysis
43A30 Fourier and Fourier-Stieltjes transforms on nonabelian groups and on semigroups, etc.
43A90 Harmonic analysis and spherical functions
22E30 Analysis on real and complex Lie groups
46F99 Distributions, generalized functions, distribution spaces
33C55 Spherical harmonics
43-06 Proceedings, conferences, collections, etc. pertaining to abstract harmonic analysis
00Bxx Conference proceedings and collections of articles
33C80 Connections of hypergeometric functions with groups and algebras, and related topics