Stochastic geometry and its applications. With a foreword by D. G. Kendall. (English) Zbl 0622.60019

Stoyan, Dietrich; Kendall, Wilfrid S.; Mecke, Joseph

Mathematische Lehrbücher and Monographien. II. Abteilung: Mathematische Monographien, Bd. 69. Berlin: Akademie-Verlag. 345 p. M 50.00 (1987).

Dies ist die (überarbeitete und erweiterte) englische Fassung des Buches von D. Stoyan und J. Mecke, Stochastische Geometrie. Eine Einführung (1983; Zbl 0539.60019). Gegenüber der deutschen Version wurde der Umfang des Textes und des Literaturverzeichnisses mehr als verdreifacht. Dabei wurden nicht nur die in der Vorlage behandelten Themen wesentlich ausführlicher dargestellt, sondern es wurden auch neue Abschnitte (z.B. über Gibbssche Prozesse und über die Statistik von Dreiecksformen) aufgenommen. Der Text gibt jetzt einen Überblick über fast alle Teilgebiete der Stochastischen Geometrie im \({\mathbb{R}}^ d.\)
Im einzelnen werden behandelt (in dieser Reihenfolge): Grundlagen aus Geometrie und Maßtheorie, Poissonsche Punktprozesse, Boolesche Modelle, allgemeine Punktprozesse, spezielle Modelle von Punktprozessen (Cox-Prozesse, Neyman-Scott-Prozesse, Hard-Core-Prozesse, Gibbs- Prozesse), zufällige abgeschlossene Mengen, zufällige Maße, ebene Geradenprozesse, Statistik von Dreiecksformen, Faserprozesse und Flächenprozesse, zufällige Mosaike, stereologische Probleme.
Das schon in der Besprechung der deutschen Fassung Gesagte gilt auch hier. Die Autoren verzichten weitgehend auf Beweise, die Begriffe, Methoden und Resultate der Stochastischen Geometrie werden mehr im Stil eines Berichtes und in anderer Reihenfolge als in einem Lehrbuch dargestellt. Dafür enthält das Buch sehr viele aus der Praxis stammende Beispiele und diskutiert auch statistische Probleme und ihre (nährungsweise) Lösung.
Einige Inhomogenitäten, die bei einem Buch dieses Stoffumfangs zwangsläufig auftreten, eine Reihe von Druckfehlern und die fehlenden Beweise erschweren an einigen wenigen Stellen das Verständnis. (So wird bei den Mosaiken der Poissonsche Ebenenprozess im \({\mathbb{R}}^ 3\) benutzt, obwohl zuvor nur ebene Geradenprozesse (als Punktprozesse auf einem Zylinder) eingeführt wurden. Allgemeinere Geraden- und Ebenenprozesse werden nicht behandelt, sie lassen sich zwar als spezielle Faser- und Flächen-Prozesse interpretieren, diese werden aber als zufällige Mengen definiert. Durch diese Einführung der Faser-Prozesse wird auch die Definition der gewichteten Faser-Prozesse in 9.6 unklar.
Insgesamt ist das Buch sowohl eine sehr hilfreiche Einführung in fast alle Teilgebiete der Stochastischen Geometrie, als auch eine wertvolle Ergebnissammlung für den Experten. Dies umsomehr, da der größte Teil des Stoffes bisher nicht in Lehrbuchform vorliegt.

Reviewer: W.Weil

MSC:

60D05	Geometric probability and stochastic geometry
60G55	Point processes (e.g., Poisson, Cox, Hawkes processes)
60-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to probability theory
60G57	Random measures
52A22	Random convex sets and integral geometry (aspects of convex geometry)
62M99	Inference from stochastic processes

Keywords:

random set; point process; Poisson process; random measure; fibre process; line process; random shape; random mosaic; integral geometry; stereology

Citations:

Zbl 0539.60019