A general theory of integration in function spaces, including Wiener and Feynman integration. (English) Zbl 0623.28008

Muldowney, P.

Pitman Research Notes in Mathematics Series, 153. Harlow, Essex: Longman Scientific & Technical. Copubl. in the United States with John Wiley & Sons, Inc., New York. VI, 115 p. (1987).

Cet ouvrage est consacré à l’exposition de la théorie générale d’une intégrale de type Riemann généralisée (édifiée en grande partie par Henstock) et de son application à l’intégrale de Wiener et à l’intégrale de Feynman.
Après un chapitre d’introduction, l’auteur aborde, au Chapitre I, l’étude de “l’intégrale d’Henstock” dont il est dit qu’elle recouvre beaucoup d’intégrales de l’Analyse Classique (Lebesgue, Denjoy, Perron). On aurait aimé que l’auteur soit moins discret sur ce point et fournisse des démonstrations. Il particularise la théorie dans le cadre des espaces fonctionnels et donne des propriétés importantes de l’intégrale qu’il a introduit (théorèmes à la Fubini et de type Lebesgue). Les définitions sont données de manière précise et les résultats démontrés soigneusement; A noter un lapsus dans la définition de la variation d’une fonction dans la formule de la page 14, ligne (3) du bas: ajouter un \(\Sigma\) devant I(h,x).
Au Chapitre III, l’auteur montre que l’intégrale de Wiener d’une fonction sur \({\mathcal C}([0,1],{\mathbb{R}})\) entre dans le cadre de la théorie de l’intégrale d’Henstock, et redémontre ainsi les résultats fondamentaux de cette théorie, en particulier la formule de Feynman-Kac reliant les solutions de l’équation de la chaleur et des intégrales par rapport à la mesure de Wiener. Sur ce point il me semble (c’est un point de vue personnel) que la théorie probabiliste est supérieure: les résultat ayant un sens intuitif plus évident.
Au Chapitre IV l’auteur étudie “l’intégrale de Feynman” qui on le sait n’est pas une intégrale par rapport à une vraie mesure, en montrant que c’est une intégrale de type Henstock, et démontre l’utilité de cette intégrale pour la résolution de l’équation de Schrödinger. Ici le traitement fourni dans l’ouvrage se compare aux autres traitements (intégrales de Feynman analytique, séquentielle...).
En résumé l’auteur nous fournit un livre facile d’accès, mais présentant peu de résultats nouveaux. En particulier on aurait aimé savoir si les autres “intégrales de chemin” considérées par les physiciens peuvent être traitées par les méthodes exposées dans l’ouvrage. Ce sera peut-être l’oeuvre de l’auteur... ou d’un lecteur de ce livre.

Reviewer: A.Badrikian

MSC:

28C20	Set functions and measures and integrals in infinite-dimensional spaces (Wiener measure, Gaussian measure, etc.)
28-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to measure and integration
81S40	Path integrals in quantum mechanics
81Q30	Feynman integrals and graphs; applications of algebraic topology and algebraic geometry

Keywords:

Wiener integral; Feynman integral; path integral; Feynman-Kac formula