Calcul symbolique non linéaire pour une onde conormale simple. (Nonlinear symbolic calculus for a simple classical conormal wave). (French) Zbl 0624.35009

Piriou, Alain

C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 304, 107-109 (1987).

On considére une solution u de classe \(C^{m+1}\) d’une équation aux dérivées partielles non linéaire scalaire réelle. On suppose d’emblée que u est conormale par rapport à une hypersurface \(\Sigma\) simplement caractéristique (de classe \(C^{\infty})\) pour l’opérateur linéarisé P. On renvoie aux travaux de S. Alinhac pour l’existence de telles solutions. On montre que le symbole principal de u défini sur le fibré conormal à \(\Sigma\), vérifie l’équation de transport correspondant au linéarisé P, à condition de définir une notion de symbole principal plus grossière que la définition standard: si d est le degré de u au sens de Hörmander, ou remplace le quotient habituel \(S^ d/S^{d-1}\) par \(S^ d/S^{d-p}\), où \(p=\min (1,-d-m-3/2)\). On étudie de même les symboles complets, et ou en déduit une notion de “distribution conormale classique” qui se propage le long des combes bicaractéristiques de P. Le cas des fonctions \(C^{\infty}\) jusqu’ au bord de part et d’autre de S apparait comme un cas particulier. On complète ainsi les résultats obtenus par J. Rauch et M. Reed dans le cas des équations semi-linéaires.

MSC:

35B40	Asymptotic behavior of solutions to PDEs
35G20	Nonlinear higher-order PDEs
47F05	General theory of partial differential operators

Keywords:

nonlinear symbolic calculus; conormal; simple characteristic; linearized operator; existence; principal symbol; transport equation; conormal classic distribution; regularity