Decomposition of Eisenstein series: Rankin triple products. (English) Zbl 0625.10020

Garrett, Paul B.

Ann. Math. (2) 125, 209-235 (1987).

Die Spitzenformen \(f(z)\), \(g(z)\), \(h(z)\) vom Gewicht \(2k\) zur rationalen Modulgruppe seien normalisierte Eigenfunktionen der Hecke-Operatoren mit den Fourierkoeffizienten \(a(n)\) bzw. \(b(n)\) bzw. \(c(n)\). Zu einer Primzahl \(p\) sei \[ 1-a(p)X+p^{2k-1}X^ 2=(1-\alpha_ p' X)(1-\alpha_ p'' X), \] die \(\alpha_ p',\alpha_ p''\) entsprechenden Größen für \(b(p)\) seien \(\beta_ p',\beta_ p''\), diejenigen für \(c(p)\) seien \(\gamma_ p',\gamma_ p''\). Der \(p\)-Faktor der \(L\)-Funktion des Tripels \(f,g,h\) ist durch \(L_{f,g,h}(s)_ p:=\prod (1-\alpha \beta \gamma p^{-s})^{- 1}\) definiert, wobei über \(\alpha \in \{\alpha_ p',\alpha_ p''\}\), \(\beta \in \{\beta_ p',\beta_ p''\}\), \(\gamma \in \{\gamma_ p',\gamma_ p''\}\) multipliziert wird; die \(L\)-Funktion selbst ist \(L_{f,g,h}(s)=\prod_{p}L_{f,g,h}(s)_ p.\) Die Eisensteinreihe vom Gewicht \(2k\) mit dem Zusatzparameter \(s\) zur Siegelschen Modulgruppe 3. Grades ist \[ E_ 3(Z;2k,s)=\sum \det (\operatorname{Im} M\langle Z\rangle )^ s \det (CZ+D)^{-2k} \] in der üblichen Bezeichnungsweise. Auf dem diagonal in den Siegelschen oberen Halbraum eingebetteten Produkt dreier oberer Halbebenen operiert als Untergruppe der Siegelschen Modulgruppe 3. Grades das direkte Produkt von drei rationalen Modulgruppen.
Verf. beweist (für \(\operatorname{Re} s\) hinreichend groß) durch direkte Auswertung \[ \iiint E_ 3(\text{diag}(z_ 1,z_ 2,z_ 3);2k,s)f(z_ 1)g(z_ 2)h(z_ 3)(y_ 1y_ 2y_ 3)^{2k-2}dx_ 1\,dy_ 1\,dx_ 2\,dy_ 2\,dx_ 3\,dy_ 3=v(k,s)L_{f,g,h}(s+4k-2), \] worin \(v(k,s)\) ein explizit angegebenes elementares Produkt ist, das im wesentlichen aus \(\zeta\)- und \(\Gamma\)-Faktoren besteht. Hieraus ergibt sich die analytische Fortsetzung der \(L\)-Funktion und die Funktionalgleichung; \[ (2\pi)^{-4s} \Gamma (s- 2k+1)^ 3 \Gamma (s) L_{f,g,h}(s) \] nimmt bei \(s\to 6k-2-s\) den Faktor \(-1\) auf. Darüberhinaus zeigt der Verf., daß \[ L(f,g,h)=\pi^{5-10k} \langle f,f\rangle ^{-1} \langle g,g\rangle ^{-1} \langle h,h\rangle ^{-1} L_{f,g,h}(4k-2) \] in dem von den Eigenwerten der Hecke-Operatoren über \({\mathbb{Q}}\) erzeugten algebraischen Zahlkörpern liegt und daß \(L(f,g,h)^{\sigma}=L(f^{\sigma},g^{\sigma},h^{\sigma})\) für \(\sigma\in \text{Gal}({\bar {\mathbb{Q}}}/ {\mathbb{Q}})\) ist, wobei \(\sigma\) bei einer Modulform auf den Fourierkoeffizienten operiert.

Reviewer: K.-B.Gundlach

MSC:

11F67	Special values of automorphic \(L\)-series, periods of automorphic forms, cohomology, modular symbols
11F27	Theta series; Weil representation; theta correspondences
11F80	Galois representations

Keywords:

integral of Eisenstein series on \(Sp_ 3\); three eigen cusp forms; analytic continuation; functional equation; special value; algebraicity; triple product L-function