Matrices with a sequence of accretive powers. (English) Zbl 0625.15017

Hershkowitz, Daniel; Schneider, Hans

Isr. J. Math. 55, 327-344 (1986).

Es sei A eine komplexe \(n\times n\)-Matrix, die keine verschiedenen Eigenwerte gleichen Betrages besitze. Ferner gelte mit einer unendlichen Folge \(r_ 1<r_ 2<r_ 3<..\). natürlicher Zahlen für die Matrizen \(B_ k=A^{r_ k}\), daß \((B_ k+B^*_ k)\) positiv semidefinit sei. Verff. beweisen, daß dann A zu einer direkten Summe \(H\oplus N\) unitär ähnlich ist, wobei H eine reguläre normale Matrix und N eine nilpotente Matrix ist. Zahlreiche Folgerungen aus diesem Satz beziehen sich auf geeignete Wahlmöglichkeiten der Exponentenfolge \((r_ k)\), die dann zu weitergehenden Aussagen (teilweise unter abgeschwächten Voraussetzungen) führen, z.B. daß A eine positiv definite Hermitesche Matrix ist. Andere Folgerungen gehen von spezielleren Voraussetzungen über die Elemente bzw. die Eigenwerte der Matrix A aus, um zu entsprechend schärferen und vielgestaltigen Resultaten zu gelangen.

Reviewer: H.-J.Kowalsky

MSC:

15B57	Hermitian, skew-Hermitian, and related matrices
15A21	Canonical forms, reductions, classification

Keywords:

unitary similarity; positive definite Hermitian matrix; direct sum of a normal matrix and a nilpotent matrix; infinite sequence of accretive powers; M-matrices

References:

[1]	A. Berman and R. J. Plemmons,Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences, Academic Press 1979. · Zbl 0484.15016
[2]	C. R. DePrima and B. K. Richard,A characterization of the positive cone of B(h), Indiana Univ. Math. J.23 (1973), 163–172. · Zbl 0257.47028
[3]	S. Friedland, D. Hershkowitz and H. Schneider,Matrices whose powers are M-matrices or Z-matrices, to appear. · Zbl 0619.15018
[4]	P. R. Halmos,Finite-Dimensional Vector Spaces, 2nd edn., Van Nostrand, 1958. · Zbl 0107.01404
[5]	D. Hershkowitz and H. Schneider,Sequences, wedges and associated sets of complex numbers, to appear. · Zbl 0659.30003
[6]	C. R. Johnson,Powers of matrices with positive definite real part, Proc. Amer. Math. Soc.50 (1975), 85–91. · Zbl 0336.15012
[7]	M. Marcus and H. Minc,A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities, Allyn and Bacon, 1964. · Zbl 0126.02404
[8]	H. Schneider,An inequality for latent roots applied to determinants with dominant principal diagonal, J. London Math. Soc.28 (1953), 13–20. · Zbl 0050.01103
[9]	E. S. Shiu,Growth of numerical ranges of powers of Hilbert space operators, Michigan Math. J.23 (1976), 155–160. · Zbl 0339.47001
[10]	B. Sz.-Nagy and C. Foias,Harmonic analysis of operators on Hilbert space, American Elsevier, 1970.