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Uniqueness for the linear Cauchy problems of first order. (L’unicité pour les problèmes de Cauchy linéaires du premier ordre.) (French) Zbl 0625.35009
Il s’agit d’un très intéressant article d’exposition sur l’unicité du problème de Cauchy (P.C.) pour les equations linéaires du premier ordre. Soit (*) \(L=\sum^{n}_{j=1}a_ j(x)\partial /\partial x_ j\) et (**) \(Lu+\underset {.} c u =f\) avec \(a_ j\) et \(c_ 0\in C^{\infty}({\mathbb{R}}^ n)\), \({\mathcal L}\) l’algèbre de Lie associé au champ de vecteurs (*) (on suppose que \(\sum | a_ j(x_ 0)|^ 2\neq 0\) pour un certain \(x_ 0\), fixé dorénavant). On s’intéresse au P.C. non caractéristique autour de \(x_ 0\), les donnés de Cauchy étant définies sur la surface \(\phi (x)=\phi (x_ 0)\), ou \(\phi \in C^{\infty}({\mathbb R}^ n)\). Les solutions considérées sont de classe \(C^ 1\).
L’A montre d’abord que si sur \(S_ 3=\{x\in {\mathbb R}^ n: \phi (x)=\phi (x_ 0),\,\text{rang}\,\mathcal L(x)\geq 3\}\) \(\phi\) non caractéristique, \(x_ 0\in \bar S_ 3\), alors en général il n’y a pas d’unicité. (Th. 1.1)
Si l’on impose que \(x_ 0\not\in \bar S_ 3\) et que localement autour de \(x_ 0\) le champ \(L\) vérifie l’une de deux conditions techniques: 1) (P) (condition de Nirenberg-Trèves), où 2) (R) condition affirmant que pour tout point voisin de \(x_ 0\) passe une variété intégrale de \({\mathcal L}\) alors il y a unicité (Th. 1.2).
Ces deux résultats généralisant légèrement (dans le cas d’ordre 1) des résultats de S. Alinhac [Ann. Math. (2) 117, 77–108 (1983; Zbl 0516.35018)], L. Robbiano [Thèse 3me cycle, Orsay (1983)], respectivement de M. J. Strauss et F. Trèves [J. Differ. Equations 15, 195–209 (1974; Zbl 0256.35011)]. Le Th. 1.2 est précis, par ex. si la condition (R) est verifiée seulement dans \({\mathring \Omega}_+=\{x\in \Omega\); \(\phi (x)>\phi (x_ 0)\}\), \(\Omega\) étant un voisinage, de \(x_ 0\), le th. 1.2 est faux (la condition (R) doit être verifiée dans \(\Omega\) tout entier).
La démonstration (en fait la construction d’une fonction \(u\) niant l’unicité du P.C.) est classique (v. par exemple Alinhac loc.cit.), élémentaire, mais délicate. L’exposé qui y est excellent.
L’A passe ensuite à l’étude de techniques d’unicité, essentiellement la méthode de Carleman, on donne une démonstration complète pour le cas elliptique; on donne aussi (lorsque \(n=2)\) une forme faible du th. 1.2.
Le ch. 4 est consacré à l’étude d’un modèle dans \({\mathbb R}^ 2\) (donc \(\text{rg}\,\mathcal L\leq 2)\) qui fournit des contre-exemples pour \(L\) explicité.
Un résultat nouveau est le th. 4.2, où la nouveauté réside dans l’accomplissement des techniques de recollement, la partie d’optique géométrique étant banale.
Le ch. 5 traite du problème caractéristique; on donne un résultat d’unicité qui résulte d’un théorème (du à Bony) sur la géométrie du support d’une solution; le résultat d’unicité contient comme cas particulier (ordre 1) le théorème de L. Hörmander [(th. 8.9.1) de ”Linear partial differential operators (1976; Zbl 0321.35001)] et garantit l’unicité dans des situations où la méthode de Carleman ne fonctionne plus. L’A donne aussi une exemple de non unicité, lorsque le rang de \({\mathcal L}\) est constant. Enfin, au dernier chapitre on étudie le role du terme d’ordre zéro.

MSC:
35F10 Initial value problems for linear first-order PDEs
35A02 Uniqueness problems for PDEs: global uniqueness, local uniqueness, non-uniqueness
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