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Gleichverteilung zum Summierungsverfahren \(H_{\infty}\). (Uniform distribution to the \(H_{\infty}\) summation method). (German) Zbl 0626.10044
Eine Folge \((x_ n)\) heißt \(H_{\infty}\)-gleichverteilt modulo 1, wenn für alle \(0\leq x<1\) gilt \[ \lim_{k\to \infty}\lim_{n\to \infty}\inf H_ k(F(x,x_ n))=\quad x = \lim_{k\to \infty}\lim_{n\to \infty}\sup H_ k(F(x,x_ n)). \] Hierbei ist \(F(x,y)=0\) für \(0\leq x\leq \{y\}\); \(=1\) für \(\{y\}<x<1\), und \(H_ k(a_ n)\) wird rekursiv definiert durch \(H_ 0(a_ n)=a_ n\) und \(H_{k+1}(a_ n)=(1/n)\sum^{n}_{j=1}H_ k(a_ j).\)
Es werden Beispiele für Folgen gegeben, die \(H_{\infty}\)-verteilt sind, speziell wird die \(H_{\infty}\)-Diskrepanz abgeschätzt, für Folgen der Gestalt \(x_ n=pn/q+f(n)\) mit ganzen \(0<p\leq q\) und streng monoton wachsenden, stetig differenzierbaren Funktionen f, für die u f’(u) monoton wachsend ist.
Des weiteren wird die \(H_{\infty}\)-Diskrepanz von Folgen \((x_ n)\) durch Diskrepanzen der Differenzenfolgen \(w_ j=(x_{n+j}-x_ n)^{\infty}_{n=1}\) abgeschätzt. Dies erlaubt den Nachweis der \(H_{\infty}\)-Gleichverteilung modulo 1 von Folgen der Form \(an^ 2+bn+c+(\alpha n+\beta)\log n\) mit a,b,c\(\in {\mathbb{Q}}\) und \(\alpha\neq 0\). Die Abschätzungen sind völlig elementar.
Reviewer: D.Leitmann
MSC:
11K06 General theory of distribution modulo \(1\)
40J05 Summability in abstract structures
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References:
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