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Mathematische Probleme der statistischen Hydromechanik. (Mathematical problems of statistical hydromechanics). (German) Zbl 0626.35002
Mathematik und ihre Anwendungen in Physik und Technik, 41. Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft, 428 S. (1986).
Die Theorie der Navier-Stokes-Gleichungen und ihre Anwendungen ist in den letzten Jahren intensiv bearbeitet worden. Das vorliegende Buch ist der Darlegung strenger Resultate gewidmet, die einige mathematische Probleme der statistischen Hydromechanik betreffen. Der überwiegende Teil der in diesem Buch dargestellten Ergebnisse wurden von den Autoren selbst erzielt, wobei einiges davon hier erstmalig publiziert wird. Ihren Forschungsinteressen aus diesem Gebiet entspricht die Stoffwahl des Buches.
Einen genaueren Überblick über den behandelten Stoff mögen die Überschriften der einzelnen Kapitel vermitteln.
Wegen der vielseitigen mathematischen Techniken, die eingesetzt werden müssen, enthält das Buch je ein Kapitel über funktionalanalytische Hilfsmittel, über Maßtheorie und über Momententheorie. Im einzelnen ist das Buch wie folgt gegliedert:
Im 1. Kapitel werden die funktionalanalytischen Entwicklungen der Lösungen von Evolutionsgleichungen untersucht. Gleichfalls wird die Abhängigkeit der Lösungen von den Anfangsbedingungen und den rechten Seiten bestimmt. Im 2. Kapitel werden Begriffe und Sätze der Maßtheorie dargelegt. Im 3. Kapitel wird der Darstellung der Momententheorie der Navier-Stokes-Gleichungen besondere Beachtung geschenkt. Das 4. Kapitel beschäftigt sich mit Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen für Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen und der Verallgemeinerung dieses Systems als Operatordifferentialgleichung. Im 5. Kapitel wird die Lösbarkeit und Eindeutigkeit des Cauchy-Problems für die Hopfsche Gleichung angeführt. Kapitel 6 bringt einen Satz über die Lösbarkeit der Momentengleichungen für beliebige Reynoldszahlen. Im 7. Kapitel werden homogene raum-zeitliche statistische Lösungen des Systems der Navier-Stokes-Gleichungen unter bestimmten Voraussetzungen konstruiert. Das 8. Kapitel beschäftigt sich mit speziellen Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen mit unbeschränkter Energie. Im 9. Kapitel wird unter Benutzung der funktionalanalytischen Entwicklungen das asymptotische Verhalten der Fourierkoeffizienten der Lösungen des zweidimensionalen Systems der Navier-Stokes-Gleichungen dargestellt. Das 10. Kapitel beschäftigt sich mit einigen Problemen, die mit der funktionalanalytischen Abhängigkeit der Lösungen von den Anfangsbedingungen und rechten Seiten zusammenhängen. In einem Anhang werden einige Ergebnisse über vollständige und teilweise Integrierbarkeit von quasilinearen Gleichungen und Gleichungssystemen erster Ordnung bzw. im \({\mathbb{R}}^ n\) gegebener Systeme der Navier- Stokes-Gleichungen mit einem weißen Rauschen auf der rechten Seite dargestellt. Es sei noch betont, daß hier großer Wert auf eine klare und verständliche Darstellung des Stoffes gelegt wird.
Reviewer: M.L.Mehra

MSC:
35-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to partial differential equations
35Q30 Navier-Stokes equations
76D05 Navier-Stokes equations for incompressible viscous fluids
35B40 Asymptotic behavior of solutions to PDEs
35R60 PDEs with randomness, stochastic partial differential equations
35A05 General existence and uniqueness theorems (PDE) (MSC2000)
46N99 Miscellaneous applications of functional analysis