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Domaines invariants pour les systèmes hyperboliques de lois de conservation. (Invariant domains for hyperbolic systems of the conservation law). (French) Zbl 0626.35061

Après des notions introductives, qui sont d’usage courant, il est question de deux systèmes de deux équations. - Pour le premier \[ (1)\quad u_ t+h(u,v)_ x=0,\quad v_ t+g(u,v)_ x=0, \] pour lequel l’auteur vient de résoudre le problème de Cauchy [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 299, 555-558 (1984; Zbl 0578.35055)], on prouve l’existence d’une droite \(\Delta\), telle que chacun des demi-plans séparés par \(\Delta\) est un domaine invariant pour le système (1). - Le deuxième, c’est le système de l’élasticité \[ ({\mathcal E})\quad u_ t-v_ x=0,\quad v_ t-\sigma (u)_ x=0, \] où v(x,t) est la vitesse, u(x,t) est l’allongement; et la fonction de tension \(\sigma\) est impaire, de classe \(C^ 2\), telle que \(\sigma\) ’(u)\(\geq \alpha^ 2>0\) pour tout \(u\in R\). Nous obtiennent le résultat suivant: Sous l’hypothèse \(u\sigma ''(u)>0\), si \(u\neq 0\) et \(\sigma \prime''(0)>0\), les domaines définis par \(R+| A(u)| /2\leq v\leq S-| A(u)| /2\), où \({\mathcal S}\) et \({\mathcal R}\) sont deux constantes réelles et \(A(u)=2\int^{u}_{0}\sqrt{\sigma '(s)} ds\), sont invariantes pour les solutions faibles de (\({\mathcal E})\).
Reviewer: S.Cinquini

MSC:

35L65 Hyperbolic conservation laws
35B40 Asymptotic behavior of solutions to PDEs

Citations:

Zbl 0578.35055
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References:

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