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Domaines invariants pour les systèmes hyperboliques de lois de conservation. (Invariant domains for hyperbolic systems of the conservation law). (French) Zbl 0626.35061
Après des notions introductives, qui sont d’usage courant, il est question de deux systèmes de deux équations. - Pour le premier \[ (1)\quad u_ t+h(u,v)_ x=0,\quad v_ t+g(u,v)_ x=0, \] pour lequel l’auteur vient de résoudre le problème de Cauchy [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 299, 555-558 (1984; Zbl 0578.35055)], on prouve l’existence d’une droite \(\Delta\), telle que chacun des demi-plans séparés par \(\Delta\) est un domaine invariant pour le système (1). - Le deuxième, c’est le système de l’élasticité \[ ({\mathcal E})\quad u_ t-v_ x=0,\quad v_ t-\sigma (u)_ x=0, \] où v(x,t) est la vitesse, u(x,t) est l’allongement; et la fonction de tension \(\sigma\) est impaire, de classe \(C^ 2\), telle que \(\sigma\) ’(u)\(\geq \alpha^ 2>0\) pour tout \(u\in R\). Nous obtiennent le résultat suivant: Sous l’hypothèse \(u\sigma ''(u)>0\), si \(u\neq 0\) et \(\sigma \prime''(0)>0\), les domaines définis par \(R+| A(u)| /2\leq v\leq S-| A(u)| /2\), où \({\mathcal S}\) et \({\mathcal R}\) sont deux constantes réelles et \(A(u)=2\int^{u}_{0}\sqrt{\sigma '(s)} ds\), sont invariantes pour les solutions faibles de (\({\mathcal E})\).
Reviewer: S.Cinquini

MSC:
35L65 Hyperbolic conservation laws
35B40 Asymptotic behavior of solutions to PDEs
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References:
[1] Chueh, K; Conley, C; Smoller, J, Positively invariant regions for systems of nonlinear diffusion equations, Indiana math. J., 26, 373-392, (1977) · Zbl 0368.35040
[2] Di Perna, R, Convergence of approximate solutions to conservation laws, Arch. rational mech. anal., 82, 27-70, (1983) · Zbl 0519.35054
[3] Tartar, L, The compensated compactness method applied to systems of conservation laws, () · Zbl 0536.35003
[4] {\scD. Serre}, Solutions à variations bornées pour certains systèmes hyperboliques de lois de conservation, J. Differential Equations, à paraître. · Zbl 0627.35062
[5] {\scB. Temple}, preprint.
[6] Kruzkov, S.N, First order quasilinear equations in several independent variables, Math. USSR sb., 10, No. 2, (1970) · Zbl 0191.39703
[7] {\scM. Schatzman}, Continuous Glimm functionnal and uniqueness of the Riemann problem, preprint. · Zbl 0579.35053
[8] {\scC. Dafermos}, Estimates for conservation laws with little viscosity, preprint. · Zbl 0655.35055
[9] Hoff, D, Invariant regions for systems of conservation laws, Trans. amer. math. soc., 289, No. 2, 591-610, (1985) · Zbl 0535.35056
[10] Temple, B, Systems of conservation laws with invariant submanifolds, Trans. amer. math. soc., 280, No. 2, 781-795, (1983) · Zbl 0559.35046
[11] Le Roux, A.Y; Schatzman, M, Analyse et approximation de problèmes hyperboliques non linéaires, ()
[12] {\scAris-Amundson}, “Mathematical Methods in Chemical Engineering,” Vol. 2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ. · Zbl 0123.17501
[13] Venttsel’, T.D, Estimates of solutions of the one-dimensional system of equations of gasdynamics with “viscosity“ not depending on “viscosity”, J. soviet. math., 31, No. 4, 3148-3153, (1985) · Zbl 0575.76076
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