# zbMATH — the first resource for mathematics

The Gearhart-Prüss theorem for a class of degenerate semigroups of operators. (English. Russian original) Zbl 1301.47052
Math. Notes 94, No. 3, 400-413 (2013); translation from Mat. Zametki 94, No. 3, 426-440 (2013).
Let $$X$$ be a complex Hilbert space. The author considers a class of semigroups of operators on $$X$$ whose generators are linear relations. Let $$T=T(t)$$ be a semigroup on $$X$$ with the generator $$\mathbb A_c$$ in the linear relation $$LR(X)$$ of $$X$$. An analog of the Gearhart-Prüss theorem for $$T$$ is considered. Let $\int_0^1\|T(t)\|^2_{\operatorname{End} X}\,dt<\infty.$ Then the condition $$\sigma(T(1))\cap \mathbb T=\emptyset$$ is equivalent to the simultaneous validity of the conditions $\sigma(\mathbb A_c)\cap\mathbb R=\emptyset \text{ and }\sup_{\lambda\in\mathbb R}\|R(i\lambda,\mathbb A_c)\|_{\operatorname{End} X}=M_1<\infty,$ where $$\sigma(T(1))$$ is the spectrum of the operator $$T(1)$$, $$\mathbb T=\{\lambda\in\mathbb C: |\lambda|=1\}$$, and $$\sigma(\mathbb A_c)$$ is the spectrum of the generator $$\mathbb A_c\in \operatorname{Gen}(T)$$. Furthermore, an example of a semigroup of operators satisfying the Gearhart-Prüss theorem is given.
Reviewer: Guoxing Ji (Xian)
##### MSC:
 47D03 Groups and semigroups of linear operators 47D06 One-parameter semigroups and linear evolution equations 47A06 Linear relations (multivalued linear operators)
Full Text:
##### References:
 [1] Э. Хилле, Р. Филлипс, Функциональный анализ и полугруппы, ИЛ, М., 1962 · Zbl 0078.10004 [2] L. Gearhart, “Spectral theory for contraction semigroups on Hilbert space”, Trans. Amer. Math. Soc., 236 (1978), 385 – 394 · Zbl 0326.47038 [3] J. Pru\"ss, “On the spectrum of $$C_0$$-semigroups”, Trans. Amer. Math. Soc., 284:2 (1984), 847 – 857 · Zbl 0572.47030 [4] K.-J. Engel, R. Nagel, One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Grad. Texts in Math., 184, Springer-Verlag, New York, 2000 · Zbl 0952.47036 [5] А. Г. Баскаков, К. И. Чернышов, “Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов”, Матем. сб., 193:11 (2002), 3 – 42 · Zbl 1085.47002 [6] А. Г. Баскаков, “Линейные отношения как генераторы полугрупп операторов”, Матем. заметки, 84:2 (2008), 175 – 192 · Zbl 1221.47076 [7] А. Г. Чшиев, “Об условиях замкнутости и условиях замыкаемости инфинитезимальных операторов некоторых классов полугрупп операторов”, Изв. вузов. Матем., 2011, \? 8, 77 – 85 · Zbl 1258.47072 [8] А. Г. Баскаков, Ю. Н. Синтяев, “Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторов: оценки решений”, Дифференц. уравнения, 46:2 (2010), 210 – 219 · Zbl 1200.47060 [9] А. Г. Баскаков, А. А. Воробьев, М. Ю. Романова, “Гиперболические полугруппы операторов и уравнение Ляпунова”, Матем. заметки, 89:2 (2011), 190 – 203 · Zbl 1258.47071 [10] Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн, Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, Нелинейный анализ и его приложения, Наука, М., 1970 · Zbl 0233.34001 [11] A. Baskakov, V. Obukhovskii, P. Zecca, “On solutions of differential inclusions in homogeneous spaces of functions”, J. Math. Anal. Appl., 324:2 (2006), 1310 – 1323 · Zbl 1113.34045 [12] А. Г. Баскаков, “Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов”, Функц. анализ и его прил., 30:3 (1996), 1 – 11 · Zbl 0911.47040 [13] А. Г. Баскаков, А. И. Пастухов, “Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами”, Сиб. матем. журн., 42:6 (2001), 1231 – 1243 · Zbl 0993.47011 [14] А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, Наука, М., 1976 · Zbl 0235.46001 [15] В. А. Треногин, Функциональный анализ, Физматлит, М., 2002 · Zbl 0804.46001 [16] C. van der Mee, Exponentially Dichotomous Operators and Applications, Oper. Theory Adv. Appl., 182, Birkhaüser Verlag, Basel, 2008 · Zbl 1158.47001 [17] А. Г. Баскаков, А. С. Загорский, “К спектральной теории линейных отношений на вещественных банаховых пространствах”, Матем. заметки, 81:1 (2007), 17 – 31 · Zbl 1180.47005 [18] А. Г. Баскаков, “Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов”, Функциональный анализ, СМФН, 9, МАИ, М., 2004, 3 – 151 · Zbl 1098.47005 [19] А. Г. Баскаков, “Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений”, Изв. РАН. Сер. матем., 73:2 (2009), 3 – 68 · Zbl 1167.47006 [20] А. Г. Баскаков, “Исследование линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории разностных операторов и линейных отношений”, УМН, 68:1(409) (2013), 77 – 128
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.