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Über die Regularität schwacher Lösungen nichtlinearer elliptischer Systeme. (Regularity of weak solutions of nonlinear elliptic systems). (German) Zbl 0627.35033
L’A. s’intéresse à la régularité des solutions faibles du système (1) \(\Delta u=2H(u)(u_ x\wedge u_ y)\) avec u: (x,y)\(\in \Omega \subset {\mathbb{R}}^ 2\to {\mathbb{R}}^ 3\), H fonction scalaire (système issu de problèmes de capillarité). Il obtient, par un procédé d’approximation, la majoration suivante (théorème 5): \(\forall u\in W^{1,2}(\Omega,{\mathbb{R}}^ 3)\) solution faible (Def. 2) de (1), si H est localement lipschitzienne et vérifie: \[ \sup ess_{{\mathbb{R}}^ 3}(| H(u)| +(1+| u|)| \nabla H(u)|)<+\infty, \] alors \(\forall B_ 0=B(\omega_ 0,R_ 0)\subset \Omega\) on a \(\int_{B_ 0}Lg(R_ 0/| \omega -\omega_ 0|)| Du|^ 2<+\infty\), si de plus u vérifie \[ \lim_{r\to 0}(1/\pi r^ 2)\int_{B(\omega_ 0,r)}| \nabla u|^ 2\int_{B(\omega_ 0,r)}| u|^ 2=0,\quad \forall \omega_ 0\in \Omega, \] alors \(u\in {\mathcal C}^{2+\mu}(\Omega)\), \(0<\mu <1\) (théorème 6).
Reviewer: M.T.Lacroix

MSC:
35J60 Nonlinear elliptic equations
35D10 Regularity of generalized solutions of PDE (MSC2000)
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