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Solutions à variations bornées pour certains systèmes hyperboliques de lois de conservation. (Solutions of bounded variations for certain hyperbolic systems of conservation laws). (French) Zbl 0627.35062

Il s’agit d’un système hyperbolique de deux lois de conservation à deux inconnues sur \(R\times R^+\), du premier ordre \[ (1)\quad \partial u/\partial t+\partial f(u)/\partial x=0,\quad u=(u_ 1,u_ 2),\quad x\in R,\quad t>0. \] Le système a été déjà étudié par B. Temple [Trans. Am. Math. Soc. 280, 781-795 (1983; Zbl 0559.35046)], et à ce travail nous renvoyons pour le généralités, rappellant seulement que le système (1) est dit hyperbolique strictement dans un domaine \({\mathcal D}\) de \(R^ 2\), si la matrice f’(u) possède deux valeurs propres distinctes et réelles \(\lambda_ 1\), \(\lambda_ 2\) pour tout \(u\in {\mathcal D}\). Soit \(u^ 0(x)\) un champ à variation bornée defini sur R, à valeurs dans un domaine compact dont l’image par l’application \(u\to w\) est incluse dans un rectangle \(R^ 0\) dont les côtés sont parallèles aux axes. On suppose que \(\sup_{R^ 0} \lambda_ 2<\inf_{R^ 0} \lambda_ 2\). L’A. établit un théorème d’existence d’une solution faible u(x,t) du problème de Cauchy (1)-(2) \(u(x,0)=u^ 0(x)\). u(x,t) est à valeurs dans le quadrilatère \(w^{-1}(R^ 0)\), à variation bornée (au sens de Tonelli-Cesari) sur \(R\times (0,T)\), \(\forall T>0\). La variation totale de chaque invariant de Riemann \(w_ i(u(.,t))\) décroi avec t. Enfin si \(\Phi\) est une entropie du système (1), convexe sur \(w^{-1}(R^ 0)\) de flux \(\Psi\) (u), on a \(\partial \Phi (u)/\partial t+\partial \Psi (u)/\partial x\leq 0.\)
Le même théorème d’existence est obtenu en considérant la convergence de la suite \(u^{\epsilon}(x,t)\), solution de la régularisation parabolique de (1): \[ \partial u^{\epsilon}/\partial t+\partial f(u^{\epsilon})/\partial x=\epsilon (\partial^ 2u^{\epsilon}/\partial x^ 2)\quad (\epsilon >0). \] Du Mémoire il paraît l’analogie avec le cas d’une seule équation, même du dernière section, où l’A. montre le découplage du système au but d’un temps fini.
Reviewer: S.Cinquini

MSC:

35L65 Hyperbolic conservation laws
35D05 Existence of generalized solutions of PDE (MSC2000)
35B40 Asymptotic behavior of solutions to PDEs
35B30 Dependence of solutions to PDEs on initial and/or boundary data and/or on parameters of PDEs

Citations:

Zbl 0559.35046
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References:

[1] Aris, R; Amundson, N, ()
[2] Glimm, J, Solutions in the large for nonlinear hyperbolic systems of equations, Comm. pure appl. math., 18, 697-715, (1965) · Zbl 0141.28902
[3] Godunov, S.K, A finite difference method for the numerical computation of discontinuous solutions of the equations of fluid dynamics, Math. sb., 47, 271-290, (1959) · Zbl 0171.46204
[4] Harten, A; Hyman, J.M; Lax, P.D, On difference approximations and entropy conditions for shocks, Comm. pure appl. math., 29, 297-322, (1979) · Zbl 0351.76070
[5] Lax, P.D, Hyperbolic systems of conservation laws, II, Comm. pure appl. math., 10, 537-567, (1957) · Zbl 0081.08803
[6] Le Roux, A.Y, Approximation des systèmes hyperboliques, (), 171
[7] Le Roux, A.Y, Approximation de quelques problèmes hyperboliques non linéaires, Thèse, (1977), Rennes, France
[8] Lions, J.L, Quelques méthodes de résolution pour des problèmes aux limites non linéaires, (1969), Dunod Paris · Zbl 0189.40603
[9] Liu, T.P, The deterministic version of the glimm scheme, Comm. math. phys., 57, 135-148, (1977) · Zbl 0376.35042
[10] Oleinik, O, Uniqueness and stability of the generalized solution of the Cauchy problem for a quasilinear equation, (), 285-290 · Zbl 0132.33303
[11] Oleinik, O, Discontinuous solutions of nonlinear differential equations, (), 95-172 · Zbl 0131.31803
[12] Schatzman, M, Théorie d’existence pour LES systèmes: méthode de glimm, (), 131-154
[13] Temple, B, Systems of conservation laws with invariant submanifolds, Trans. amer. math. soc., 280, 781-795, (1983) · Zbl 0559.35046
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