Singularités des solutions de problèmes de Cauchy hyperboliques non linéaires. (Singularities of solutions of nonlinear hyperbolic Cauchy problems). (French) Zbl 0627.35065

Bony, J.-M.

Advances in microlocal analysis, Proc. NATO Adv. Study Inst., Castelvecchio-Pascoli (Lucca)/Italy 1985, NATO ASI Ser., Ser. C 168, 15-39 (1986).

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Il s’agit, au voisinage de 0 dans \(R^{n+1}=R^ n_ x\times R_ t\), des équations semi-linéaires \[ (1)\quad P(x,t,D_ x,D_ t)u(x,y)=F(x,t,u,...,\nabla^{m-1}u), \] où \({\mathcal P}\) est un opérateur strictement hyperbolique d’ordre \(m\), et \({\mathcal F}\) est une fonction réelle \(C^{\infty}\) des coordonnées et des dérivées de \(u\) jusqu’à l’ordre m-1. Considérant la condition de Cauchy \[ (2)\quad Y_ ju=(\partial /\partial t)^ ju(x,0)=\phi_ j(x), \] on détermine les singularités d’une solution (de (1)-(2)) \(u\in H^ s\) \((s>n/2+m)\) pour tout \(t\) petit, connaissant les singularités des \(\phi_ j\). Pour les équations d’ordre \(m\) quelconque on étudie le cas où les données sont singulières sur une hypersurface ou en un point, tandis que pour \(m=2\) les singularités sont sur une sous- variété, ou, en particulier pour l’espace \(n=2\), sur plusieurs courbes concourantes.
Pour les démonstrations on fait appel aux espaces de distributions involutives et conormales, et à la théorie de la seconde microlocalisation.

Reviewer: C.Cinquini

MSC:

35L75	Higher-order nonlinear hyperbolic equations
35L30	Initial value problems for higher-order hyperbolic equations
35A20	Analyticity in context of PDEs
35L67	Shocks and singularities for hyperbolic equations

Keywords:

semilinear; strictly hyperbolic; Cauchy problem; singularity; second microlocalization

Citations:

Zbl 0583.00014