×

Singularités des solutions de problèmes de Cauchy hyperboliques non linéaires. (Singularities of solutions of nonlinear hyperbolic Cauchy problems). (French) Zbl 0627.35065

Advances in microlocal analysis, Proc. NATO Adv. Study Inst., Castelvecchio-Pascoli (Lucca)/Italy 1985, NATO ASI Ser., Ser. C 168, 15-39 (1986).
[For the entire collection see Zbl 0583.00014.]
Il s’agit, au voisinage de 0 dans \(R^{n+1}=R^ n_ x\times R_ t\), des équations semi-linéaires \[ (1)\quad P(x,t,D_ x,D_ t)u(x,y)=F(x,t,u,...,\nabla^{m-1}u), \] où \({\mathcal P}\) est un opérateur strictement hyperbolique d’ordre \(m\), et \({\mathcal F}\) est une fonction réelle \(C^{\infty}\) des coordonnées et des dérivées de \(u\) jusqu’à l’ordre m-1. Considérant la condition de Cauchy \[ (2)\quad Y_ ju=(\partial /\partial t)^ ju(x,0)=\phi_ j(x), \] on détermine les singularités d’une solution (de (1)-(2)) \(u\in H^ s\) \((s>n/2+m)\) pour tout \(t\) petit, connaissant les singularités des \(\phi_ j\). Pour les équations d’ordre \(m\) quelconque on étudie le cas où les données sont singulières sur une hypersurface ou en un point, tandis que pour \(m=2\) les singularités sont sur une sous- variété, ou, en particulier pour l’espace \(n=2\), sur plusieurs courbes concourantes.
Pour les démonstrations on fait appel aux espaces de distributions involutives et conormales, et à la théorie de la seconde microlocalisation.
Reviewer: C.Cinquini

MSC:

35L75 Higher-order nonlinear hyperbolic equations
35L30 Initial value problems for higher-order hyperbolic equations
35A20 Analyticity in context of PDEs
35L67 Shocks and singularities for hyperbolic equations

Citations:

Zbl 0583.00014