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Spectral theory and differential operators. (English) Zbl 0628.47017
Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. Oxford: Clarendon Press. XVII, 574 p.; £70.00 (1987).
Dieser Band ist eine breit angelegte Darstellung der Spektraltheorie gewöhnlicher und partieller Differentialoperatoren. Obwohl die Untersuchungen konkreter Operatoren fast ausschließlich in \(L^ 2\)- Hilberträumen durchgeführt werden, wird in den ersten vier Kapiteln sehr ausführlich die abstrakte Theorie linearer Operatoren in Banachräumen dargestellt. Diese Darstellung umfaßt insbesondere: Kapitel I: Kompakte Operatoren, Fredholm- und Semi-Fredholmoperatoren, wesentliches Spektrum. Kapitel II: Entropiezahlen, Approximationszahlen, s-Zahlen, Eigenwerte, kompakte Operatoren in Hilberträumen, Kapitel III: abgeschlossene und abschließbare Operatoren, symmetrische und selbstadjungierte Operatoren, relative Beschränktheit und relative Kompaktheit, Stabilität der Abgeschlossenheit, Selbstadjungiertheit, Akkretivität und Halbbeschränktheit; zur Illustration dieser Überlegungen werden gewöhnliche Differentialoperatoren zweiter Ordnung einschließlich der Weyl’schen Grenzkreis-Grenzpunktfall- Theorie dargestelt. Kapitel IV: Sesquilinearformen, Koerzitive Formen und der Satz von Lax-Milgram, sektorielle Formen und die Kato’schen Darstellungssätze.
Das längste Kapitel ist Kapitel V, in dem die Sobolevräume behandelt werden, die für die Untersuchung von (insbesondere elliptischen) Differentialoperatoren von grundlegender Bedeutung sind: Räume stetiger Funktionen, Zerlegung der Eins, Fouriertransformation, schwache Abbleitung, Einbettungsungleichungen, Randeigenschaften, Maße der Nichtkompaktheit.
Mit den Kapiteln VI und VII beginnt die eigentliche Untersuchung von Differentialoperatoren mit Dirichlet- und Neumann-Problemen für elliptische Differentialoperatoren zunächst auf beschränkten Gebieten (hier ist die Resolvente kompakt) und dann auf beliebigen Gebieten in \({\mathbb{R}}^ n\), wobei drei verschiedene Zugänge dargestellt werden: 1. über m-sektorielle Formen, 2. mit Hilfe der Kato’schen Distributionsungleichung und 3. über die wesentliche Selbstadjungiertheit auf \(C_ 0^{\infty}({\mathbb{R}}^ n)\). Insbesondere folgen Ergebnisse über die wesentliche Selbstadjungiertheit von Schrödingeroperatoren. Auch Schrödingeroperatoren mit starken lokalen Singularitäten werden kurz betrachtet. Wesentlicher Inhalt von Kapitel VIII ist das Kriterium von Molcanov für die Diskretheit des Spektrums von Schrödingeroperatoren. Hierzu wird insbesondere auch der Begriff der Kapazität eingeführt.
In den Kapiteln IX und X werden zunächst Invarianzeigenschaften des wesentlichen Spektrums untersucht und damit das wesentliche Spektrum von Differentialoperatoren zweiter Ordnung lokalisiert, wobei Zerlegungsprinzipien für gewöhnliche und partielle Differentialoperatoren benutzt werden.
Schließlich werden in den letzten zwei Kapiteln zahlreiche Abschätzungen und asymptotische Aussagen für die Eigenwerte von \(- \Delta +q\) (q reell) und die singulären Werte (q nicht-reell) bewiesen.
Bei aller Breite der Darstellung können natürlich nicht alle Aspekte des behandelten Themas berücksichtigt werden. Der Referent vermißt insbesondere Aussagen über das stetige und absolutstetige Spektrum sowie Bezüge zur Streutheorie.
Reviewer: J.Weidmann

MSC:
47B25 Linear symmetric and selfadjoint operators (unbounded)
47-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to operator theory
47E05 General theory of ordinary differential operators
47F05 General theory of partial differential operators
46E35 Sobolev spaces and other spaces of “smooth” functions, embedding theorems, trace theorems
47A53 (Semi-) Fredholm operators; index theories
47B40 Spectral operators, decomposable operators, well-bounded operators, etc.
47B10 Linear operators belonging to operator ideals (nuclear, \(p\)-summing, in the Schatten-von Neumann classes, etc.)