On the distribution of residues of products of integers. (English) Zbl 0629.10004

Sárközy, A.

Acta Math. Hung. 49, 397-401 (1987).

Es seien p eine Primzahl, M, N, S, T, \(a_ 1,...,a_ M\), \(b_ 1,...,b_ N\) ganze Zahlen mit \(1\leq M\), \(N\leq p-1\), \(1\leq T\leq p\), sowie (1) \(a_ i\not\equiv a_ j (mod p)\) für \(1\leq i<j\leq M\) und (2) \(b_ i\not\equiv b_ j (mod p)\) für \(1\leq i<j\leq N\). Wenn f(n) die Anzahl der Lösungen von \(a_ xb_ y\equiv n (mod p)\), \(1\leq x\leq M\), \(1\leq y\leq N\) bezeichnet, so wird die Abschätzung \[ | \sum^{S+T}_{n=S+1}f(n)-\frac{MNT}{p}| \quad <^ 2(pMN)^{1/2} \log p \] bewiesen. Speziell mit \(S=0\), \(T=[2p^{3/2} M^{-1/2} N^{- 1/2} \log p]+1\) kann daraus \(\sum^{T}_{n=1}f(n)>0\) hergeleitet werden. Andererseits werden für \(p>900\), \(M=N=T=(p-1)/2\) ganze Zahlen \(a_ 1,...,a_ M\), \(b_ 1,...,b_ N\), S konstruiert, so daß (1) und (2) erfüllt sind, aber \[ | \sum^{S+T}_{n=S+1}f(n)- \frac{MNT}{p}| \quad >\quad \frac{1}{28}(pMN)^{1/2} \] ist. Die Methoden sind elementar.

Reviewer: D.Leitmann

MSC:

11A07	Congruences; primitive roots; residue systems
11L40	Estimates on character sums

Keywords:

residues of products of integers; uniform distribution; solutions of congruences

References:

[1]	A. Sárközy, Some remarks concerning irregularities of distribution of sequences of integers in arithmetic progressions. IV,Acta Math. Acad. Sci. Hung.,30 (1977), 155–162. · Zbl 0372.10032
[2]	А. В. Сокаловский, Об одной теореме А. Шаркоэи,Acta Arithmetica,41 (1982), 27–31. · Zbl 1154.68045
[3]	I. M. Vinogradov,The method of trigonometrical sums in the theory of numbers, Interscience (New York, 1954). · Zbl 0055.27504