Padé approximants and effective measures of irrationality. (Approximants de Padé et mesures effectives d’irrationalité.) (French) Zbl 0632.10034

Rhin, Georges

Théorie des Nombres, Sémin. Paris 1985/86, Prog. Math. 71, 155-164 (1987).

Soit \(\alpha\) un nombre réel irrationel, on dit que le réel \(\mu\) est une mesure d’irrationalité de \(\alpha\) si, pour tout \(\varepsilon >0\), il existe \(q_ 0(\varepsilon)>0\) effectivement calculable tel que pour tout couple \((p,q)\) de \(\mathbb{Z}^2\) vérifiant \(q\geq q_0(\varepsilon)\) on ait
\[ | \alpha -p/q| \geq q^{-\mu -\varepsilon}.\]
L’auteur démontre que des mesures d’irrationalité de \(\log 2\) et \(\pi\/\sqrt{3}\) sont données par \(\mu(\log 2) = 4,076\ldots\) et \(\mu(\pi/\sqrt{3}) = 4,97\), améliorant ainsi sensiblement les résultats connus antérieurement.
Il obtient également \(\mu(\sqrt{3}\log (2+\sqrt{3})) = 17,207\ldots\) ainsi qu’une très bonne mesure d’indépendance linéaire sur \(\mathbb{Z}\) effective de \(1, \log 2\) et \(\log 3\). La méthode utilisée est une majoration d’une intégrale définie d’une fraction rationelle de complexité croissante. L’auteur compare avec la méthode des approximants de Padé et discute les résultats ainsi obtenus.
[For the entire collection see Zbl 0621.00007.]

Reviewer: Patrice Philippon (Paris)

MSC:

11J82

Measures of irrationality and of transcendence

Keywords:

transcendental numbers; irrationality measures