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Éléments cyclotomiques en K-théorie. (Cyclotomic elements in K- theory). (French) Zbl 0632.12014
Journées arithmétiques, Besançon/France 1985, Astérisque 147-148, 225-257 (1987).
[For the entire collection see Zbl 0605.00004.]
Les groupes de K-théorie algébrique \(K_{2m+1}({\mathfrak O}_ F)\) de l’anneau des entiers d’un corps de nombres F sont des analogues du groupe \(K_ 1({\mathcal O}_ F)={\mathfrak O}_ F^*\) des unités. Dans ce texte, l’A. fait le point sur la construction d’analogues du groupe des unités cyclotomiques et complète les résultats qu’il a obtenus dans Algebraic K-theory, Proc. Conf., Evanston 1980, Lect. Notes Math. 854, 372-401 (1981; Zbl 0488.12008). En particulier, il s’agit d’obtenir un lien entre l’évaluation de régulateurs sur ces unités et les valeurs de fonctions L.
Une première construction, qui donne des éléments dans \(K_ 3(F)\) (Bloch) et \(K_{2m+1}(F)\otimes_{{\mathbb{Z}}} {\mathbb{Q}}\) (Beilinson) utilise la K-théorie relative, dont l’A. rappelle les propriétés de base. Une seconde construction due à l’A., via la K-théorie à coefficients et un processus p-adique, fournit des éléments dans \(K_{2m+1}(F)\otimes_{{\mathbb{Z}}} {\mathbb{Z}}_ p.\)
L’A. établit que ces deux constructions fournissent essentiellement les mêmes sous-groupes (d’indice fini) de \(K_ 3(F)\otimes_{{\mathbb{Z}}} {\mathbb{Z}}_ p\). Ceci permet d’obtenir un résultat de finitude en théorie d’Iwasawa. Inversement, grâce à la conjecture principale des corps cyclotomiques (théorème de Mazur-Wiles), et aux résultats de l’A. sur les liens entre la K-théorie et la cohomologie étale (op. cit.), ce résultat de finitude s’étend (sans K-théorie, on n’obtient cette finitude que pour les corps de nombres abéliens totalement réels) et permit de montrer que les “éléments cyclotomiques” engendrent un sous-groupe d’indice fini dans \(K_{2m+1}(F)\otimes_{{\mathbb{Z}}} {\mathbb{Z}}_ p.\)
L’article se conclut sur le lien (reposant sur la “conjecture principale”) entre la non-nullité en \(s=i\geq 2\) de valeurs de fonctions L p-adiques attachées à des caractères de Dirichlet et le fait que certains regulateurs p-adiques sur des groupes \(K_{2i-1}\) sont des isomorphismes.

MSC:
11R70 \(K\)-theory of global fields
18F25 Algebraic \(K\)-theory and \(L\)-theory (category-theoretic aspects)
11R18 Cyclotomic extensions
11S40 Zeta functions and \(L\)-functions
11R27 Units and factorization