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A propos des distributions sur l’espace de Wiener. (On the distributions on Wiener spaces). (French) Zbl 0632.60035
Sémin. probabilités XXI, Lect. Notes Math. 1247, 8-26 (1987).
[For the entire collection see Zbl 0606.00022.]
Cet article a pour objet la présentation de la théorie des distributions sur l’espace de Wiener, dûe à Hida et à ses collaborateurs. Le langage utilisé est celui des probabilistes et non comme dans les travaux de Hida, celui des distributions aléatoires de Gel’fand.
L’espace des fonctions tests consiste en les sommes: \(f=\sum_{n}(1/n!)I_ n(\hat f_ n)\) ne comportant qu’un nombre fini des termes non nuls, \(\hat f{}_ n\) désignant une fonction symétrique appartenant à \(C_ 0^{\infty}(]0,\infty [^ n)\), avec \(I_ n(\hat f_ n)\) définie par: \[ I_ n(\hat f_ n))=\int_{{\mathbb{R}}^ n_+}\hat f_ n(s_ 1,s_ 2,...,s_ n)dB_{s_ 1}dB_{s_ 2}...dB_{s_ n}, \] B étant un mouvement brownien standard issu de 0. Une distribution T est alors une suite \((T_ n)\) de distributions symétriques sur \(]0,\infty [^ n\) et la valeur de T sur la fonction test f est donnée par: \[ <T,f>=\sum_{n}(1/n!)<T_ n,\hat f_ n>. \] Un certain nombre d’exemples sont considérés: notamment les distributions au sens de Watanabe, puis des distributions associées à des lois singulières par rapport à la mesure de Wiener; enfin le lien avec l’intégrale de Feynman est établi. De nombreuses références sont données concernant la théorie de Hida et les différentes théorie des distributions sur l’espace de Wiener.
Reviewer: J.Mémin

MSC:
60G20 Generalized stochastic processes
46F25 Distributions on infinite-dimensional spaces
60H99 Stochastic analysis
Citations:
Zbl 0606.00022
Full Text: Numdam EuDML